Mostre que os seguintes subconjuntos de \mathbf{R}^{4} são subespaços
W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbf{R}^{4} \mid x+y=0\right. e \left.z-t=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto W\subset\mathbf{R}^4 definido por condições lineares e pede para mostrar que ele é um subespaço. Mais precisamente:
  • O conjunto é W=\{(x,y,z,t)\in\mathbf{R}^4 \mid x+y=0 \text{ e } z-t=0\}.
  • A tarefa: provar que W é subespaço de \mathbf{R}^4.

Passo 2

Lembrete bem direto do que significa “ser subespaço”: um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço se satisfaz três propriedades:
  1. W não é vazio (tipicamente mostramos que o vetor nulo pertence a W).
  2. W é fechado para soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado para multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbf{R} então \lambda u\in W.
Vou verificar essas três propriedades passo a passo, explicando cada cálculo.

Passo 3

Verificar que W não é vazio (mostrar que o vetor zero está em W). O vetor zero em \mathbf{R}^4 é (0,0,0,0). Substituindo nas equações que definem W:
  • x+y=0 vira 0+0=0, que é verdade.
  • z-t=0 vira 0-0=0, que é verdade.
    Portanto (0,0,0,0)\in W. Isso garante que W não é vazio.

Passo 4

Verificar fechamento por soma. Tome dois vetores quaisquer em W:
u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W,\qquad v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W.
Pelo fato de pertencerem a W temos as igualdades
x_1+y_1=0,\qquad z_1-t_1=0,
x_2+y_2=0,\qquad z_2-t_2=0.
Agora calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2).
Verificamos as condições definidoras em u+v:
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0+0=0,
(z_1+z_2)-(t_1+t_2)=(z_1-t_1)+(z_2-t_2)=0+0=0.
Logo u+v satisfaz as mesmas equações e portanto u+v\in W. Assim W é fechado para soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar. Tome u=(x,y,z,t)\in W e \lambda\in\mathbf{R}. Como u\in W temos x+y=0 e z-t=0. Considere \lambda u:
\lambda u=(\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z,\;\lambda t).
Verificamos as equações:
\lambda x+\lambda y=\lambda(x+y)=\lambda\cdot 0=0,
\lambda z-\lambda t=\lambda(z-t)=\lambda\cdot 0=0.
Portanto \lambda u também satisfaz as condições e \lambda u\in W. Assim W é fechado para multiplicação escalar.

Passo 6

Concluindo a partir dos passos anteriores: W contém o vetor zero, é fechado para soma e é fechado para multiplicação por escalares. Portanto W é um subespaço de \mathbf{R}^4.

Passo 7

(Ajuda extra para entender a estrutura de W) Podemos reescrever genericamente um elemento de W. Das equações vem y=-x e t=z. Assim um vetor qualquer de W tem a forma
(x,y,z,t)=(x,-x,z,z).
Isto pode ser parametrizado por x e z:
(x,-x,z,z)=x(1,-1,0,0)+z(0,0,1,1).
Isso mostra que W é o subespaço gerado (span) pelos vetores (1,-1,0,0) e (0,0,1,1):
W=\operatorname{span}\{(1,-1,0,0),\,(0,0,1,1)\}.

Passo 8

Verificação rápida de linear independence (para saber a base e dimensão). Suponha que
\alpha(1,-1,0,0)+\beta(0,0,1,1)=(0,0,0,0).
Isso dá o sistema de coordenadas:
\alpha=0,\qquad -\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad \beta=0.
Da primeira equação vem \alpha=0; da terceira vem \beta=0. Logo os dois vetores são linearmente independentes. Assim eles formam uma base de W e \dim W=2.

Resposta

W é subespaço de \mathbf{R}^4. Uma base é \{(1,-1,0,0),(0,0,1,1)\} e \dim W=2.

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