Mostre que os seguintes subconjuntos de
são subespaços
e
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
definido por condições lineares e pede para mostrar que ele é um subespaço. Mais precisamente:
- O conjunto é
- A tarefa: provar que
é subespaço de .
Passo 2
Lembrete bem direto do que significa “ser subespaço”: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se satisfaz três propriedades:
-
não é vazio (tipicamente mostramos que o vetor nulo pertence a ). -
é fechado para soma: se e então . -
é fechado para multiplicação escalar: se e então .
Vou verificar essas três propriedades passo a passo, explicando cada cálculo.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (mostrar que o vetor zero está em
). O vetor zero em
é
. Substituindo nas equações que definem
:
-
vira , que é verdade. -
vira , que é verdade.
Portanto. Isso garante que não é vazio.
Passo 4
Verificar fechamento por soma. Tome dois vetores quaisquer em
:
Pelo fato de pertencerem a
temos as igualdades
Agora calcule
:
Verificamos as condições definidoras em
:
Logo
satisfaz as mesmas equações e portanto
. Assim
é fechado para soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar. Tome
e
. Como
temos
e
. Considere
:
Verificamos as equações:
Portanto
também satisfaz as condições e
. Assim
é fechado para multiplicação escalar.
Passo 6
Concluindo a partir dos passos anteriores:
contém o vetor zero, é fechado para soma e é fechado para multiplicação por escalares. Portanto
é um subespaço de
.
Passo 7
(Ajuda extra para entender a estrutura de
) Podemos reescrever genericamente um elemento de
. Das equações vem
e
. Assim um vetor qualquer de
tem a forma
Isto pode ser parametrizado por
e
:
Isso mostra que
é o subespaço gerado (span) pelos vetores
e
:
Passo 8
Verificação rápida de linear independence (para saber a base e dimensão). Suponha que
Isso dá o sistema de coordenadas:
Da primeira equação vem
; da terceira vem
. Logo os dois vetores são linearmente independentes. Assim eles formam uma base de
e
.