Considere o subespaço mathcal{S}=\operatorname{ger}\left\{6-x^{2}, 1+x+4 x^{2}\right\}.
O vetor 13+x-x^{2} \in \mathcal{S} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
\mathcal{S}=\operatorname{ger}\{\,6-x^{2},\;1+x+4x^{2}\,\}
e pergunta se o polinômio 13+x-x^{2} pertence a \mathcal{S}.
Informações relevantes:
  • Geradores de \mathcal{S}: p_{1}(x)=6-x^{2} e p_{2}(x)=1+x+4x^{2}.
  • Polinômio a testar: q(x)=13+x-x^{2}.
  • A pergunta é: existe uma combinação linear a\,p_{1}(x)+b\,p_{2}(x)=q(x) para alguns escalares a,b\in\mathbb{R}?

Passo 2

Ideia e método (explicação didática):
  • O conjunto \mathcal{S}=\operatorname{ger}\{p_{1},p_{2}\} é o conjunto de todas as combinações lineares a\,p_{1}+b\,p_{2}.
  • Para polinômios, duas expressões são iguais se, e somente se, seus coeficientes nas potências de x coincidirem.
  • Logo, para verificar se q\in\mathcal{S} montamos a igualdade
a(6-x^{2})+b(1+x+4x^{2})=13+x-x^{2},
expansimos, agrupamos coeficientes de 1,x,x^{2} e obtemos um sistema linear para a e b.
  • Se o sistema for compatível (tem solução), então q\in\mathcal{S}. Se for incompatível, então q\notin\mathcal{S}.

Passo 3

Montar e expandir a combinação linear:
a(6-x^{2})+b(1+x+4x^{2})=6a - a x^{2} + b + b x + 4b x^{2}.
Agrupando por potências de x:
(6a+b) + (b)\,x + (-a+4b)\,x^{2}.

Passo 4

Igualar coeficientes com 13+x-x^{2}\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} 6a + b = 13,\\[4pt] b = 1,\\[4pt] - a + 4b = -1. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da segunda equação vem b=1\]. - Substituindo na primeira: \(6a+1=13\Rightarrow 6a=12\Rightarrow a=2.
    - Verificar a terceira equação com a=2 e b=1: -a+4b = -2+4 = 2.
    - A terceira equação exige que esse valor seja -1, mas obtemos 2. Há contradição: o sistema é incompatível.]

Passo 5

Conclusão e interpretação: não existem escalares a,b que satisfaçam simultaneamente as três igualdades (os coeficientes). Portanto não é possível escrever 13+x-x^{2} como combinação linear de 6-x^{2} e 1+x+4x^{2}. Um esclarecimento para fixar a intuição: os valores a=2,b=1 satisfazem as duas primeiras equações e produzem o polinômio
2(6-x^{2})+1(1+x+4x^{2})=13+x+2x^{2},
que é diferente de 13+x-x^{2}; essa verificação mostra concretamente a incompatibilidade nos coeficientes de x^{2}.

Resposta

Não. 13+x-x^{2}\notin\mathcal{S}

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