Considere o subespaço
.
O vetor
? Justifique sua resposta.
O vetor
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
e pergunta se o polinômio pertence a
.
Informações relevantes:
e pergunta se o polinômio
Informações relevantes:
- Geradores de
: e . - Polinômio a testar:
. - A pergunta é: existe uma combinação linear
para alguns escalares ?
Passo 2
Ideia e método (explicação didática):
- O conjunto
é o conjunto de todas as combinações lineares . - Para polinômios, duas expressões são iguais se, e somente se, seus coeficientes nas potências de
coincidirem. - Logo, para verificar se
montamos a igualdade
expansimos, agrupamos coeficientes de
e obtemos um sistema linear para
e
.
- Se o sistema for compatível (tem solução), então
. Se for incompatível, então .
Passo 3
Montar e expandir a combinação linear:
Agrupando por potências de
:
Passo 4
Igualar coeficientes com
Resolver passo a passo:
- Da segunda equação vem
.
- Verificar a terceira equação come : .
- A terceira equação exige que esse valor seja, mas obtemos . Há contradição: o sistema é incompatível.]
Passo 5
Conclusão e interpretação: não existem escalares
que satisfaçam simultaneamente as três igualdades (os coeficientes). Portanto não é possível escrever
como combinação linear de
e
. Um esclarecimento para fixar a intuição: os valores
satisfazem as duas primeiras equações e produzem o polinômio
que é diferente de
; essa verificação mostra concretamente a incompatibilidade nos coeficientes de
.
Resposta
Não.