Responda quais dos conjuntos abaixo é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta.
W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x-3 y=1\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-3y=1\}.
A pergunta é: “Esse conjunto W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2?”
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos de W são pares (x,y) que satisfazem a equação linear x-3y=1.
  • A equação é igual a 1 (constante não nula).

Passo 2

Lembrete (fórmulas e ideias que vou usar). Para um conjunto S\subseteq\mathbb{R}^2 ser subespaço vetorial é necessário e suficiente que:
  1. S não seja vazio (em particular, o vetor zero (0,0) deve pertencer a S);
  2. S seja fechado sob soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S;
  3. S seja fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
Explicação curta do porquê: um subespaço precisa conter o vetor zero porque, para qualquer u\in S, tem-se 0=(0)u\in S pela propriedade de fechamento por escalar; portanto a ausência de (0,0) já impede S de ser subespaço.

Passo 3

Teste do vetor zero. Verificar se (0,0)\in W. Substituindo na equação que define W:
0-3\cdot 0 = 0 \neq 1.
Portanto (0,0)\notin W. Como um subespaço precisa conter o vetor zero, isso já mostra que W não é subespaço vetorial.

Passo 4

(Explicação didática adicional — outra maneira de ver a falha de fechamento.) Vou construir dois vetores em W e mostrar que a soma não permanece em W, o que também prova que W não é subespaço.
Escolho y=0. Da equação x-3y=1 obtemos x=1, logo
v_1=(1,0)\in W.
Escolho y=1. Da equação obtemos x=4, logo
v_2=(4,1)\in W.
Somando:
v_1+v_2=(1+4,\;0+1)=(5,1).
Verificando se v_1+v_2\in W:
5-3\cdot 1 = 2 \neq 1,
logo v_1+v_2\notin W. Assim W não é fechado sob soma, confirmando que não é subespaço.

Passo 5

Interpretação geométrica curta (para fixar a ideia): a equação x-3y=1 representa uma reta em \mathbb{R}^2 que não passa pela origem (porque o lado direito é 1, não 0). Subespaços lineares que são retas precisam passar pela origem; retas que não passam pela origem são afins, não subespaços.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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