Responda quais dos conjuntos abaixo é um subespaço vetorial de
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A pergunta é: “Esse conjunto
é um subespaço vetorial de
?”
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os elementos de
são pares que satisfazem a equação linear . - A equação é igual a
(constante não nula).
Passo 2
Lembrete (fórmulas e ideias que vou usar). Para um conjunto
ser subespaço vetorial é necessário e suficiente que:
-
não seja vazio (em particular, o vetor zero deve pertencer a ); -
seja fechado sob soma: se e então ; -
seja fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicação curta do porquê: um subespaço precisa conter o vetor zero porque, para qualquer
, tem-se
pela propriedade de fechamento por escalar; portanto a ausência de
já impede
de ser subespaço.
Passo 3
Teste do vetor zero. Verificar se
. Substituindo na equação que define
:
Portanto
. Como um subespaço precisa conter o vetor zero, isso já mostra que
não é subespaço vetorial.
Passo 4
(Explicação didática adicional — outra maneira de ver a falha de fechamento.) Vou construir dois vetores em
e mostrar que a soma não permanece em
, o que também prova que
não é subespaço.
Escolho
. Da equação
obtemos
, logo
Escolho
. Da equação obtemos
, logo
Somando:
Verificando se
:
logo
. Assim
não é fechado sob soma, confirmando que não é subespaço.
Passo 5
Interpretação geométrica curta (para fixar a ideia): a equação
representa uma reta em
que não passa pela origem (porque o lado direito é
, não
). Subespaços lineares que são retas precisam passar pela origem; retas que não passam pela origem são afins, não subespaços.
Resposta
W não é subespaço vetorial de
.