[4](4,0 pontos) c1)( 0,5 ponto) Ajustar os dados do quadro que segue pelo método dos quadrados mínimos, utilizando uma polinômio do primeiro grau e do segundo grau e determine f(0)
x -3 -1 1 2 3
f(x) -1 0 1 1 -1
c2) ( 0,5 ponto) Seja f(x)=\left(x^{3}-1\right)^{2}, x \in[0,1]. Usando o método dos mínmos quadrados, aproximar a função por ( usando o produto escalar usual em C[0,1] ):
i) uma reta
ii) um polinômio do 2^{\underline{\circ}} grau.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados (peguei estes pontos do enunciado):
  • Pontos amostrais: x=-3,-1,1,2,3.
  • Valores: f(-3)=-1,\;f(-1)=0,\;f(1)=1,\;f(2)=1,\;f(3)=-1.
O enunciado faz duas partes:
c1) Ajustar por mínimos quadrados:
  • i) um polinômio do 1.º grau p_1(x)=a+b x;
  • ii) um polinômio do 2.º grau p_2(x)=a+b x+c x^2.
    E, em cada caso, determinar f(0) (ou seja, o valor do polinômio ajustado em x=0).
c2) Para f(x)=(x^{3}-1)^{2} em [0,1] e produto escalar usual em C[0,1] (ou seja \langle u,v\rangle=\int_{0}^{1} u(x)v(x)\,dx):
  • i) aproximar por uma reta p_1(x)=\alpha+\beta x por mínimos quadrados (projeção em \operatorname{span}\{1,x\});
  • ii) aproximar por um polinômio de grau 2 p_2(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^2 (projeção em \operatorname{span}\{1,x,x^2\}).
Resumo das quantidades que vou precisar (algumas serão calculadas a seguir): somas dos x, x^2, produtos x y, etc., para c1; e integrais dos monômios para c2.

Passo 2

Método e fórmulas gerais (aulas rápidas e intuitivas).
  • Idéia dos mínimos quadrados (discreto, c1): escolher coeficientes do polinômio de forma que a soma dos quadrados dos resíduos
S=\sum_{i=1}^{n}\big(p(x_i)-y_i\big)^2
seja mínima. Para polinômio linear p(x)=a+bx\) as equações normais decorrem de \(\partial S/\partial a=0\) e \(\partial S/\partial b=0\), que dão o sistema linear \[\begin{cases} n a + (\sum x_i) b = \sum y_i,\\[4pt] (\sum x_i) a + (\sum x_i^2) b = \sum x_i y_i. \end{cases}
Para polinômio quadrático p(x)=a+bx+cx^2\] obtemos, análogamente, o sistema 3×3 com as somas \(\sum x_i,\sum x_i^2,\sum x_i^3,\sum x_i^4 e os vetores à direita \sum y_i,\sum x_i y_i,\sum x_i^2 y_i.
  • Idéia dos mínimos quadrados (contínuo, c2): aproximar f por projeção ortogonal no subespaço gerado por bases \{\phi_j\}. Os coeficientes c_j satisfazem o sistema
\sum_{k}\langle \phi_j,\phi_k\rangle c_k = \langle f,\phi_j\rangle,
onde \langle u,v\rangle=\int_0^1 u(x)v(x)\,dx. Para a base \{1,x,\dots\} aparecem integrais de potências de x e de f(x) multiplicado por essas potências.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos dados.]

Passo 3

Resolvendo c1 — cálculo das somas necessárias.
Calculo as somas sobre os 5 pontos:
\begin{aligned} n&=5,\\\ \sum x_i &= -3 + (-1) + 1 + 2 + 3 = 2,\\\ \sum y_i &= -1 + 0 + 1 + 1 + (-1) = 0,\\\ \sum x_i^2 &= 9 + 1 + 1 + 4 + 9 = 24,\\\ \sum x_i^3 &= (-27)+(-1)+1+8+27 = 8,\\\ \sum x_i^4 &= 81+1+1+16+81 = 180,\\\ \sum x_i y_i &= (-3)(-1)+(-1)(0)+1\cdot1+2\cdot1+3(-1) = 3+0+1+2-3 = 3,\\\ \sum x_i^2 y_i &= 9(-1)+1\cdot0+1\cdot1+4\cdot1+9(-1) = -9+0+1+4-9 = -13. \end{aligned}
Essas somas são todas explicitamente obtidas dos pontos dados e vou usá-las nas equações normais.

Passo 4

c1-i) Ajuste linear [p_1(x)=a+bx). Montagem e solução das equações normais.
As equações normais são
\begin{cases} 5a + (\sum x_i) b = \sum y_i,\\[4pt] (\sum x_i) a + (\sum x_i^2) b = \sum x_i y_i. \end{cases}
Substituindo os valores encontrados:
\begin{cases} 5a + 2 b = 0,\\[4pt] 2a + 24 b = 3. \end{cases}
Resolvendo: da primeira (a = -\dfrac{2}{5}b]. Substituo na segunda:
2\left(-\frac{2}{5}b\right) + 24 b = 3 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}b +24b =3.
Somando os coeficientes:
\left(24-\frac{4}{5}\right)b = 3 \quad\Rightarrow\quad \frac{116}{5}b = 3 \quad\Rightarrow\quad b=\frac{15}{116}.
Então
a = -\frac{2}{5}b = -\frac{2}{5}\cdot\frac{15}{116} = -\frac{3}{58}.
Portanto o ajuste linear é
p_1(x)= -\frac{3}{58} + \frac{15}{116}x.
O valor pedido f(0) (valor do polinômio em x=0) é simplesmente a:
p_1(0)= -\frac{3}{58}.]

Passo 5

c1-ii) Ajuste quadrático [p_2(x)=a+bx+cx^2). Montagem do sistema 3×3 e solução.
As equações normais (usando as somas calculadas) são
\begin{cases} 5a + 2 b + 24 c = 0,\\[4pt] 2 a + 24 b + 8 c = 3,\\[4pt] 24 a + 8 b + 180 c = -13. \end{cases}
Vou resolver sistematicamente. Da primeira:
a = -\frac{2b+24c}{5}.
Substituo na segunda:
2\left(-\frac{2b+24c}{5}\right) + 24 b + 8 c = 3
\Longrightarrow\\\ -\frac{4b+48c}{5} +24b +8c = 3
\Longrightarrow\\\ 116 b -8 c = 15 \qquad(\text{multiplicando por }5).
Substituo (a] na terceira:
24\left(-\frac{2b+24c}{5}\right) + 8 b + 180 c = -13
\Longrightarrow\\\ -\frac{48b+576c}{5} +8b +180c = -13
\Longrightarrow\\\ -8 b +324 c = -65 \qquad(\text{multiplicando por }5).
Agora resolvo o sistema em b,c\): \[\begin{cases} 116 b - 8 c = 15,\\[4pt] -8 b +324 c = -65. \end{cases}
Da primeira 116b = 15+8c\] então \(b=\dfrac{15+8c}{116}. Substituindo na segunda e simplificando dá (faço os passos com frações):
-8\cdot\frac{15+8c}{116} +324 c = -65.
Observe que \dfrac{8}{116}=\dfrac{2}{29}. Multiplicando por 29 e resolvendo obtemos
9380 c = -1855 \quad\Rightarrow\quad c = -\frac{1855}{9380} = -\frac{53}{268}.
Com c achado,
b=\frac{15+8c}{116} = \frac{15+8\left(-\tfrac{53}{268}\right)}{116} = \frac{31}{268}.
Finalmente,
a = -\frac{2b+24c}{5} = \frac{121}{134}.
Portanto o ajuste quadrático é
p_2(x)= \frac{121}{134} + \frac{31}{268}x - \frac{53}{268}x^2.
O valor pedido f(0) é
p_2(0)= \frac{121}{134}.]

Passo 6

Resolvendo c2 — preparatório: integrais necessárias.
Para projeção no espaço gerado por \{1,x,x^2\} precisamos das integrais
\int_0^1 x^k\,dx=\frac{1}{k+1}\quad(k=0,1,2,\dots)
e dos produtos \langle f,x^j\rangle=\int_0^1 (x^3-1)^2 x^j\,dx. Vou computar as integrais elementares primeiro:
\int_0^1 1\,dx =1,\quad \int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2},\quad \int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3},
\int_0^1 x^3\,dx=\frac{1}{4},\quad \int_0^1 x^4\,dx=\frac{1}{5},\quad \int_0^1 x^5\,dx=\frac{1}{6},\quad \int_0^1 x^6\,dx=\frac{1}{7}.
Agora expando f(x)=(x^3-1)^2 = x^6 -2x^3 +1 e calculo os produtos com 1,x,x^2:
\langle f,1\rangle=\int_0^1 (x^6-2x^3+1)\,dx = \frac{1}{7}-2\cdot\frac{1}{4}+1 = \frac{9}{14}.
\langle f,x\rangle=\int_0^1 (x^7-2x^4 + x)\,dx = \frac{1}{8}-2\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{2} = \frac{9}{40}.
\langle f,x^2\rangle=\int_0^1 (x^8-2x^5+x^2)\,dx = \frac{1}{9}-2\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{3} = \frac{1}{9}.
Esses valores servirão como o lado direito das equações normais do problema contínuo.

Passo 7

c2-i) Aproximação por reta p_1(x)=\alpha+\beta x.
As equações normais (matriz de Gram 2×2) são
\begin{pmatrix} \langle 1,1\rangle & \langle 1,x\rangle\\[4pt] \langle x,1\rangle & \langle x,x\rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\langle f,1\rangle\\[4pt]\langle f,x\rangle\end{pmatrix}.
Substituindo:
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{9}{14}\\[4pt]\tfrac{9}{40}\end{pmatrix}.
Resolvendo o sistema (faço eliminação):
Da primeira linha \alpha +\tfrac{1}{2}\beta=\tfrac{9}{14}.
Da segunda \tfrac{1}{2}\alpha +\tfrac{1}{3}\beta=\tfrac{9}{40}.
Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo a primeira obtemos
\left(1+\frac{2}{3}-1\right)\beta = \frac{9}{20}-\frac{9}{14} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{6}\beta = -\frac{27}{140}.
Logo \beta = -\dfrac{81}{70}.
Substituindo na primeira:
\alpha = \frac{9}{14} - \frac{1}{2}\beta = \frac{9}{14} + \frac{81}{140} = \frac{171}{140}.
Assim a reta de mínimos quadrados (projeção L^2 em [0,1]) é
p_1(x)=\frac{171}{140} - \frac{81}{70}x.]

Passo 8

c2-ii) Aproximação por polinômio de grau 2 p_2(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^2.
Sistema das equações normais (3×3) com a base \{1,x,x^2\}:
\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{9}{14}\\[4pt]\tfrac{9}{40}\\[4pt]\tfrac{1}{9}\end{pmatrix}.
Para resolver sem perder exatidão trabalhei com frações e eliminação. Multiplicando convenientemente e eliminando, cheguei ao sistema reduzido que deu as soluções exatas:
\beta=\frac{2}{35},\qquad \gamma=-\frac{17}{14},\qquad \alpha=\frac{107}{105}.
Portanto o polinômio de grau 2 de mínimos quadrados (projeção L^2 em [0,1]) é
p_2(x)=\frac{107}{105} + \frac{2}{35}x - \frac{17}{14}x^2.]

Resposta

c1 (ajuste nos pontos):
  • Ajuste linear: p_1(x)=-\dfrac{3}{58}+\dfrac{15}{116}x. Portanto p_1(0)=-\dfrac{3}{58}.
  • Ajuste quadrático: p_2(x)=\dfrac{121}{134}+\dfrac{31}{268}x-\dfrac{53}{268}x^2. Portanto p_2(0)=\dfrac{121}{134}.
c2 (aproximações em L^2[0,1]):
  • reta (grau 1): p_1(x)=\dfrac{171}{140}-\dfrac{81}{70}x.
  • polinômio (grau 2): p_2(x)=\dfrac{107}{105}+\dfrac{2}{35}x-\dfrac{17}{14}x^2.

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