[4](4,0 pontos) c1)( 0,5 ponto) Ajustar os dados do quadro que segue pelo método dos quadrados mínimos, utilizando uma polinômio do primeiro grau e do segundo grau e determine f(0)
x
-3
-1
1
2
3
f(x)
-1
0
1
1
-1
c2) ( 0,5 ponto) Seja f(x)=\left(x^{3}-1\right)^{2}, x \in[0,1]. Usando o método dos mínmos quadrados, aproximar a função por ( usando o produto escalar usual em C[0,1] ):
i) uma reta
ii) um polinômio do 2^{\underline{\circ}} grau.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
ii) um polinômio do 2.º grau p_2(x)=a+b x+c x^2.
E, em cada caso, determinar f(0) (ou seja, o valor do polinômio ajustado em x=0).
c2) Para f(x)=(x^{3}-1)^{2} em [0,1] e produto escalar usual em C[0,1] (ou seja \langle u,v\rangle=\int_{0}^{1} u(x)v(x)\,dx):
i) aproximar por uma reta p_1(x)=\alpha+\beta x por mínimos quadrados (projeção em \operatorname{span}\{1,x\});
ii) aproximar por um polinômio de grau 2 p_2(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^2 (projeção em \operatorname{span}\{1,x,x^2\}).
Resumo das quantidades que vou precisar (algumas serão calculadas a seguir): somas dos x, x^2, produtos x y, etc., para c1; e integrais dos monômios para c2.
Passo 2
Método e fórmulas gerais (aulas rápidas e intuitivas).
Idéia dos mínimos quadrados (discreto, c1): escolher coeficientes do polinômio de forma que a soma dos quadrados dos resíduos
S=\sum_{i=1}^{n}\big(p(x_i)-y_i\big)^2
seja mínima. Para polinômio linear p(x)=a+bx\) as equações normais decorrem de \(\partial S/\partial a=0\) e \(\partial S/\partial b=0\), que dão o sistema linear
\[\begin{cases} n a + (\sum x_i) b = \sum y_i,\\[4pt] (\sum x_i) a + (\sum x_i^2) b = \sum x_i y_i. \end{cases}
Para polinômio quadrático p(x)=a+bx+cx^2\] obtemos, análogamente, o sistema 3×3 com as somas \(\sum x_i,\sum x_i^2,\sum x_i^3,\sum x_i^4 e os vetores à direita \sum y_i,\sum x_i y_i,\sum x_i^2 y_i.
Idéia dos mínimos quadrados (contínuo, c2): aproximar f por projeção ortogonal no subespaço gerado por bases \{\phi_j\}. Os coeficientes c_j satisfazem o sistema
onde \langle u,v\rangle=\int_0^1 u(x)v(x)\,dx. Para a base \{1,x,\dots\} aparecem integrais de potências de x e de f(x) multiplicado por essas potências.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos dados.]
Essas somas são todas explicitamente obtidas dos pontos dados e vou usá-las nas equações normais.
Passo 4
c1-i) Ajuste linear [p_1(x)=a+bx). Montagem e solução das equações normais.
As equações normais são
\begin{cases} 5a + (\sum x_i) b = \sum y_i,\\[4pt] (\sum x_i) a + (\sum x_i^2) b = \sum x_i y_i. \end{cases}
Substituindo os valores encontrados:
\begin{cases} 5a + 2 b = 0,\\[4pt] 2a + 24 b = 3. \end{cases}
Resolvendo: da primeira (a = -\dfrac{2}{5}b]. Substituo na segunda: 2\left(-\frac{2}{5}b\right) + 24 b = 3 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}b +24b =3.
Somando os coeficientes: \left(24-\frac{4}{5}\right)b = 3 \quad\Rightarrow\quad \frac{116}{5}b = 3 \quad\Rightarrow\quad b=\frac{15}{116}.
Então a = -\frac{2}{5}b = -\frac{2}{5}\cdot\frac{15}{116} = -\frac{3}{58}.
Portanto o ajuste linear é
p_1(x)= -\frac{3}{58} + \frac{15}{116}x.
O valor pedido f(0) (valor do polinômio em x=0) é simplesmente a:
p_1(0)= -\frac{3}{58}.]
Passo 5
c1-ii) Ajuste quadrático [p_2(x)=a+bx+cx^2). Montagem do sistema 3×3 e solução.
As equações normais (usando as somas calculadas) são
\begin{cases} 5a + 2 b + 24 c = 0,\\[4pt] 2 a + 24 b + 8 c = 3,\\[4pt] 24 a + 8 b + 180 c = -13. \end{cases}
Vou resolver sistematicamente. Da primeira:
a = -\frac{2b+24c}{5}.
Substituo na segunda:
2\left(-\frac{2b+24c}{5}\right) + 24 b + 8 c = 3
\Longrightarrow\\\ -\frac{4b+48c}{5} +24b +8c = 3
\Longrightarrow\\\ 116 b -8 c = 15 \qquad(\text{multiplicando por }5).
Substituo (a] na terceira: 24\left(-\frac{2b+24c}{5}\right) + 8 b + 180 c = -13
Resolvendo o sistema (faço eliminação):
Da primeira linha \alpha +\tfrac{1}{2}\beta=\tfrac{9}{14}.
Da segunda \tfrac{1}{2}\alpha +\tfrac{1}{3}\beta=\tfrac{9}{40}.
Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo a primeira obtemos
Para resolver sem perder exatidão trabalhei com frações e eliminação. Multiplicando convenientemente e eliminando, cheguei ao sistema reduzido que deu as soluções exatas: