Considere o subespaço U de \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores:
v_{1}=(1,1,1,1), v_{2}=(1,1,2,4), v_{3}=(1,2,-4,-3) .
(a) Encontre uma base ortogonal de U.
(b) Encontre uma base ortonormal de U.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço U\subset\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
v_{1}=(1,1,1,1),\qquad v_{2}=(1,1,2,4),\qquad v_{3}=(1,2,-4,-3).
Pede:
(a) encontrar uma base ortogonal de U;
(b) encontrar uma base ortonormal de U.
Informações relevantes que temos: os três vetores geram U (portanto a base ortogonal/ortonormal terá até 3 vetores) e usaremos o produto interno padrão em \mathbb{R}^4, i.e., \langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.

Passo 2

Vou usar o processo de Gram–Schmidt para transformar os vetores geradores em uma base ortogonal. Lembrete prático e fórmula principal:
  • Se já tenho vetores ortogonais u_1,\dots,u_{k-1} e quero ortogonalizar v, a projeção de v sobre u é
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
  • No Gram–Schmidt faço:
u_1=v_1,\qquad u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2),\qquad u_3=v_3-\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)-\operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Cada u_i resultante é ortogonal aos anteriores. Depois, para normalizar um vetor u calculo \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle} e tomo e=u/\|u\|.
Vou executar passo a passo, mostrando os cálculos do produto interno, projeções e normas.

Passo 3

Defino u_1=v_1. Calculo a norma quadrada de u_1 e a projeção necessária depois:
\langle v_1,v_1\rangle = 1+1+1+1 = 4.
Portanto u_1=(1,1,1,1) e \langle u_1,u_1\rangle=4.

Passo 4

Agora calculo u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2).
Primeiro o produto interno:
\langle v_2,u_1\rangle = 1+1+2+4 = 8.
Então a projeção é
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 = \frac{8}{4}u_1 = 2u_1 = (2,2,2,2).
Logo
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = (1,1,2,4)-(2,2,2,2)=(-1,-1,0,2).
Calculo também \langle u_2,u_2\rangle porque será útil:
\langle u_2,u_2\rangle = (-1)^2+(-1)^2+0^2+2^2 = 1+1+0+4 = 6.

Passo 5

Agora u_3=v_3-\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)-\operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Primeiro a projeção sobre u_1:
\langle v_3,u_1\rangle = 1+2+(-4)+(-3) = -4,
\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)=\frac{-4}{4}\,u_1 = -1\cdot u_1 = (-1,-1,-1,-1).
Subtraindo isso de v_3 obtenho um intermediário
w:=v_3-\operatorname{proj}_{u_1}(v_3) = (1,2,-4,-3)-(-1,-1,-1,-1) = (2,3,-3,-2).
Agora a projeção de v_3 sobre u_2 (nota: usa-se \langle v_3,u_2\rangle, não \langle w,u_2\rangle; a fórmula original proj usa v_3):
\langle v_3,u_2\rangle = 1\cdot(-1) + 2\cdot(-1) + (-4)\cdot 0 + (-3)\cdot 2 = -1-2+0-6 = -9.
Como \langle u_2,u_2\rangle=6, temos
\operatorname{proj}_{u_2}(v_3)=\frac{-9}{6}\,u_2 = -\frac{3}{2}(-1,-1,0,2) = \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2},0,-3\right).
Finalmente
u_3 = w - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3) = (2,3,-3,-2)-\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2},0,-3\right) = \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2},-3,1\right).
Para evitar frações posso multiplicar esse vetor por 2 (isso mantém ortogonalidade e continua sendo uma base válida). Defino então o vetor inteiro
u_3' = 2u_3 = (1,3,-6,2).
É equivalente para formar uma base ortogonal.

Passo 6

Faço checagens de ortogonalidade (mostro que os produtos internos são zero):
\langle u_1,u_2\rangle = (1)(-1)+(1)(-1)+(1)(0)+(1)(2) = -1-1+0+2 = 0.
\langle u_1,u_3'\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot3 + 1\cdot(-6) + 1\cdot2 = 1+3-6+2 = 0.
\langle u_2,u_3'\rangle = (-1)\cdot1 + (-1)\cdot3 + 0\cdot(-6) + 2\cdot2 = -1-3+0+4 = 0.
Portanto \{u_1,u_2,u_3'\} é realmente um conjunto de vetores mutuamente ortogonais.

Passo 7

Escrevo explicitamente a base ortogonal encontrada. Uma escolha conveniente (sem frações) é:
u_1=(1,1,1,1),\qquad u_2 = (-1,-1,0,2),\qquad u_3'=(1,3,-6,2).
Esses três vetores são ortogonais entre si e geram o mesmo subespaço U.

Passo 8

Agora passo para a base ortonormal: normalizo cada u_i.
Normas:
\|u_1\|=\sqrt{\langle u_1,u_1\rangle}=\sqrt{4}=2,
\|u_2\|=\sqrt{\langle u_2,u_2\rangle}=\sqrt{6},
\|u_3'\|=\sqrt{\langle u_3',u_3'\rangle}=\sqrt{1+9+36+4}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.
Portanto os vetores unitários (ortonormais) são
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right),
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\left(-\tfrac{1}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}},0,\tfrac{2}{\sqrt{6}}\right),
e_3=\frac{u_3'}{\|u_3'\|}=\left(\tfrac{1}{5\sqrt{2}},\tfrac{3}{5\sqrt{2}},-\tfrac{6}{5\sqrt{2}},\tfrac{2}{5\sqrt{2}}\right).
Verificação rápida (opcional): cada e_i tem norma 1 e \langle e_i,e_j\rangle=0 para i\ne j porque vêm da normalização de vetores ortogonais.

Resposta

Uma base ortogonal de U é
\{(1,1,1,1),\;(-1,-1,0,2),\;(1,3,-6,2)\}.
Uma base ortonormal de U é
\left\{\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right),\;\left(-\tfrac{1}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}},0,\tfrac{2}{\sqrt{6}}\right),\;\left(\tfrac{1}{5\sqrt{2}},\tfrac{3}{5\sqrt{2}},-\tfrac{6}{5\sqrt{2}},\tfrac{2}{5\sqrt{2}}\right)\right\}.

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