Considere o subespaço
de
gerado pelos vetores:
(a) Encontre uma base ortogonal de
.
(b) Encontre uma base ortonormal de
.
(b) Encontre uma base ortonormal de
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado pelos vetores
Pede:
(a) encontrar uma base ortogonal de ;
(b) encontrar uma base ortonormal de .
(a) encontrar uma base ortogonal de
(b) encontrar uma base ortonormal de
Informações relevantes que temos: os três vetores geram
(portanto a base ortogonal/ortonormal terá até 3 vetores) e usaremos o produto interno padrão em
, i.e.,
.
Passo 2
Vou usar o processo de Gram–Schmidt para transformar os vetores geradores em uma base ortogonal. Lembrete prático e fórmula principal:
- Se já tenho vetores ortogonais
e quero ortogonalizar , a projeção de sobre é
- No Gram–Schmidt faço:
Cada
resultante é ortogonal aos anteriores. Depois, para normalizar um vetor
calculo
e tomo
.
Vou executar passo a passo, mostrando os cálculos do produto interno, projeções e normas.
Passo 3
Defino
. Calculo a norma quadrada de
e a projeção necessária depois:
Portanto
e
.
Passo 4
Agora calculo
.
Primeiro o produto interno:
Então a projeção é
Logo
Calculo também
porque será útil:
Passo 5
Agora
.
Primeiro a projeção sobre
:
Subtraindo isso de
obtenho um intermediário
Agora a projeção de
sobre
(nota: usa-se
, não
; a fórmula original proj usa
):
Como
, temos
Finalmente
Para evitar frações posso multiplicar esse vetor por
(isso mantém ortogonalidade e continua sendo uma base válida). Defino então o vetor inteiro
É equivalente para formar uma base ortogonal.
Passo 6
Faço checagens de ortogonalidade (mostro que os produtos internos são zero):
Portanto
é realmente um conjunto de vetores mutuamente ortogonais.
Passo 7
Escrevo explicitamente a base ortogonal encontrada. Uma escolha conveniente (sem frações) é:
Esses três vetores são ortogonais entre si e geram o mesmo subespaço
.
Passo 8
Agora passo para a base ortonormal: normalizo cada
.
Normas:
Portanto os vetores unitários (ortonormais) são
Verificação rápida (opcional): cada
tem norma
e
para
porque vêm da normalização de vetores ortogonais.
Resposta
Uma base ortogonal de
é
Uma base ortonormal de
é