Encontre a projeção do vertor v=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] \in M_{2}(\mathbb{R}) sobre o vetor w=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 5 & 5\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a projeção do vetor (matriz) v sobre o vetor (matriz) w.
As matrizes fornecidas são:
v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix},\qquad w=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 5 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 2

Conceito e fórmula da projeção em espaços com produto interno (a explicação é necessária para aplicar no espaço M_2(\mathbb{R})).
  • Em qualquer espaço vetorial com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle, a projeção de v sobre w (supondo w\neq 0) é o vetor paralelo a w dado por
\operatorname{proj}_w v = \frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle}\,w.
Aqui \langle v,w\rangle é o produto interno entre v e w.
  • No espaço M_2(\mathbb{R}) o produto interno usual (chamado produto de Frobenius) entre duas matrizes A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) é
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^\top B)=\sum_{i,j} a_{ij}b_{ij},
isto é, soma dos produtos das entradas correspondentes. Essa é justamente a generalização do produto escalar para matrizes.

Passo 3

Calcular \langle v,w\rangle usando a soma dos produtos das entradas (pegando as entradas das matrizes dadas no Passo 1):
\langle v,w\rangle =1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 5 + 4\cdot 5 =1 + 2 + 15 + 20 =38.

Passo 4

Calcular \langle w,w\rangle (soma dos quadrados das entradas de w):
\langle w,w\rangle =1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 5\cdot 5 + 5\cdot 5 =1 + 1 + 25 + 25 =52.

Passo 5

Obter o coeficiente escalar da projeção:
\alpha=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}=\frac{38}{52}.
Simplificando a fração:
\frac{38}{52}=\frac{19}{26}.

Passo 6

Multiplicar \alpha pela matriz w para obter a projeção:
\operatorname{proj}_w v = \frac{19}{26}\,w = \frac{19}{26}\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 5 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{19}{26} & \dfrac{19}{26} \\[8pt] \dfrac{95}{26} & \dfrac{95}{26}\end{pmatrix}.]

Passo 7

(verificação rápida, opcional mas didática) Checar que o vetor residual v-\operatorname{proj}_w v é ortogonal a w, ou seja \langle v-\operatorname{proj}_w v,\,w\rangle=0. Isso confirma que a fórmula foi aplicada corretamente. Cálculo:
\langle v-\operatorname{proj}_w v,\,w\rangle =\langle v,w\rangle - \frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}\langle w,w\rangle = \langle v,w\rangle - \langle v,w\rangle =0.
Tudo consistente.

Resposta

\begin{pmatrix}\dfrac{19}{26} & \dfrac{19}{26} \\[8pt] \dfrac{95}{26} & \dfrac{95}{26}\end{pmatrix}]

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