Encontre a projeção do vertor
sobre o vetor
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a projeção do vetor (matriz)
sobre o vetor (matriz)
.
As matrizes fornecidas são:
As matrizes fornecidas são:
Passo 2
Conceito e fórmula da projeção em espaços com produto interno (a explicação é necessária para aplicar no espaço
).
- Em qualquer espaço vetorial com produto interno
, a projeção de sobre (supondo ) é o vetor paralelo a dado por
Aqui
é o produto interno entre
e
.
- No espaço
o produto interno usual (chamado produto de Frobenius) entre duas matrizes e é
isto é, soma dos produtos das entradas correspondentes. Essa é justamente a generalização do produto escalar para matrizes.
Passo 3
Calcular
usando a soma dos produtos das entradas (pegando as entradas das matrizes dadas no Passo 1):
Passo 4
Calcular
(soma dos quadrados das entradas de
):
Passo 5
Obter o coeficiente escalar da projeção:
Simplificando a fração:
Passo 6
Multiplicar
pela matriz
para obter a projeção:
Passo 7
(verificação rápida, opcional mas didática) Checar que o vetor residual
é ortogonal a
, ou seja
. Isso confirma que a fórmula foi aplicada corretamente. Cálculo:
Tudo consistente.