Considere o Subespaço vetorial .
Determine uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um subespaço vetorial que é gerado pelos vetores , , e . Nosso objetivo aqui é determinar uma base para . Para isso, vamos precisar entender sobre bases, subespaços vetoriais e independência linear.
Passo 2
Primeiro, o que é uma base? Uma base de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o subespaço. Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Para encontrar uma base para , precisamos verificar quais dos vetores dados são linearmente independentes. Se algum vetor puder ser escrito como combinação dos outros, ele não é necessário para a base.
Passo 4
Vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise:
Nosso objetivo é realizar operações nas linhas dessa matriz para ver se conseguimos identificar dependências lineares.
Passo 5
Vamos simplificar a matriz usando a eliminação de Gauss:
Mantemos a primeira linha como está.
A segunda linha já tem um zero no primeiro elemento.
Para a terceira linha, adicionamos a primeira linha para eliminar o -1:
(-1) + 1 = 0, 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1
Então, a terceira linha fica (0, 0, 1, 1) .
4. Para a quarta linha, subtraímos a primeira linha:
Observamos que a terceira linha é igual à segunda, o que indica que elas não são independentes. Vamos eliminar a terceira linha, pois ela não adiciona novas informações.
Agora, nos restam três linhas:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & 1
Passo 7
Vamos somar a segunda e a terceira linhas para eliminar o termo -1:
1 + (-1) = 0, 1 + 1 = 2
A nova terceira linha fica (0, 0, 0, 2) .
Nossa matriz atualizada é:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 2
Passo 8
Agora, vemos que todas as linhas têm pelo menos um elemento não zero em colunas diferentes, o que indica que os vetores correspondentes são linearmente independentes.
Passo 9
Portanto, os vetores que correspondem às linhas não nulas na matriz reduzida são:
(1, 0, 1, 0)
(0, 0, 1, 1)
(0, 0, 0, 2)
Passo 10
Entretanto, podemos simplificar ainda mais. O terceiro vetor (0, 0, 0, 2) pode ser visto como uma combinação dos outros, mas para manter a independência, vamos considerar apenas os dois primeiros vetores.
Resposta
Uma base para W é constituída pelos vetores (1, 0, 1, 0) e (0, 0, 1, 1) .