Considere o Subespaço vetorial W=span(1,0,1,0),(0,0,1,1),(-1,0,0,1),(1,0,0,1).
Determine uma base para W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um subespaço vetorial W que é gerado pelos vetores (1,0,1,0) , (0,0,1,1) , (-1,0,0,1) e (1,0,0,1) . Nosso objetivo aqui é determinar uma base para W . Para isso, vamos precisar entender sobre bases, subespaços vetoriais e independência linear.

Passo 2

Primeiro, o que é uma base? Uma base de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o subespaço. Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Para encontrar uma base para W , precisamos verificar quais dos vetores dados são linearmente independentes. Se algum vetor puder ser escrito como combinação dos outros, ele não é necessário para a base.

Passo 4

Vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 1
Nosso objetivo é realizar operações nas linhas dessa matriz para ver se conseguimos identificar dependências lineares.

Passo 5

Vamos simplificar a matriz usando a eliminação de Gauss:
  1. Mantemos a primeira linha como está.
  2. A segunda linha já tem um zero no primeiro elemento.
  3. Para a terceira linha, adicionamos a primeira linha para eliminar o -1:
(-1) + 1 = 0, 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1
Então, a terceira linha fica (0, 0, 1, 1) .
4. Para a quarta linha, subtraímos a primeira linha:
1 - 1 = 0, 0 - 0 = 0, 0 - 1 = -1, 1 - 0 = 1
A quarta linha fica (0, 0, -1, 1) .
A matriz agora fica:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & 1

Passo 6

Observamos que a terceira linha é igual à segunda, o que indica que elas não são independentes. Vamos eliminar a terceira linha, pois ela não adiciona novas informações.
Agora, nos restam três linhas:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & 1

Passo 7

Vamos somar a segunda e a terceira linhas para eliminar o termo -1:
1 + (-1) = 0, 1 + 1 = 2
A nova terceira linha fica (0, 0, 0, 2) .
Nossa matriz atualizada é:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 2

Passo 8

Agora, vemos que todas as linhas têm pelo menos um elemento não zero em colunas diferentes, o que indica que os vetores correspondentes são linearmente independentes.

Passo 9

Portanto, os vetores que correspondem às linhas não nulas na matriz reduzida são:
  1. (1, 0, 1, 0)
  2. (0, 0, 1, 1)
  3. (0, 0, 0, 2)

Passo 10

Entretanto, podemos simplificar ainda mais. O terceiro vetor (0, 0, 0, 2) pode ser visto como uma combinação dos outros, mas para manter a independência, vamos considerar apenas os dois primeiros vetores.

Resposta

Uma base para W é constituída pelos vetores (1, 0, 1, 0) e (0, 0, 1, 1) .

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