Considere o Subespaço vetorial W=span(1,0,1,0),(0,0,1,1),(-1,0,0,1),(1,0,0,1).
Determine uma base ortogonal para W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma base ortogonal para o subespaço vetorial W , que é gerado pelos vetores (1,0,1,0) , (0,0,1,1) , (-1,0,0,1) e (1,0,0,1) . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente os conceitos de subespaço vetorial, base, independência linear e processo de ortogonalização como o de Gram-Schmidt. Para resolver, vamos precisar verificar a independência desses vetores, selecionar uma base para W e então aplicar o processo de Gram-Schmidt para torná-la ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores dados são linhadamente independentes ou não. Isso é importante porque, se eles forem dependentes, não serão todos necessários para formar uma base de W . Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar a independência. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Calculando o determinante de A :
det(A) = 1 cdot det 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 - 0 + (-1) cdot det 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 + 1 cdot det 1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1
Após calcular, vemos que o determinante é zero, indicando que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 4

Como os vetores são dependentes, precisamos selecionar apenas os vetores linearmente independentes para formar uma base de W . Observando os vetores fornecidos, percebemos que o último vetor (1,0,0,1) pode ser escrito como uma combinação linear dos anteriores. Portanto, podemos desconsiderá-lo e ficar com os vetores (1,0,1,0) , (0,0,1,1) e (-1,0,0,1) que formam uma base para W .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para converter essa base em uma base ortogonal. O processo consiste em modificar os vetores de forma que cada novo vetor seja ortogonal aos anteriores.
Primeiro, nomeamos os vetores da base original:
v1 = (1,0,1,0)
v2 = (0,0,1,1)
v3 = (-1,0,0,1)

Passo 6

Começamos com u1 = v1 = (1,0,1,0) . Este será o primeiro vetor da nossa base ortogonal.
Em seguida, calculamos u2 ajustando v2 para ser ortogonal a u1 :
u2 = v2 - proju1(v2)
A projeção de v2 em u1 é dada por:
proju1(v2) = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Calculando o produto interno:
v2 cdot u1 = (0)(1) + (0)(0) + (1)(1) + (1)(0) = 1
u1 cdot u1 = 1^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = 2
Então,
proju1(v2) = ( 12 ) (1,0,1,0) = ( 12, 0, 12, 0 )
Portanto,
u2 = (0,0,1,1) - ( 12, 0, 12, 0 ) = ( -12, 0, 12, 1 )

Passo 7

Agora, encontramos u3 ajustando v3 para ser ortogonal a u1 e u2 :
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3)
Primeiro, calculamos proju1(v3) :
v3 cdot u1 = (-1)(1) + 0 + 0 + 1 cdot 0 = -1
proju1(v3) = ( -12 ) (1,0,1,0) = ( -12, 0, -12, 0 )
Em seguida, calculamos proju2(v3) :
v3 cdot u2 = (-1)(-12) + 0 cdot 0 + 0 cdot 12 + 1 cdot 1 = 12 + 0 + 0 + 1 = 32
u2 cdot u2 = (-12)^2 + 0^2 + (12)^2 + 1^2 = 14 + 0 + 14 + 1 = 32
proju2(v3) = ( 3232 ) ( -12, 0, 12, 1 ) = ( -12, 0, 12, 1 )
Então,
u3 = (-1,0,0,1) - ( -12, 0, -12, 0 ) - ( -12, 0, 12, 1 ) = (0,0,0,0)
Como u3 resultou em zero, isso confirma que nosso conjunto original era dependente e que u1 e u2 já formam uma base ortogonal para W .

Resposta

A base ortogonal para W é composta pelos vetores:
u1 = (1,,0,,1,,0) e u2 = ( -12,; 0,; 12,; 1 )

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