Considere o Subespaço vetorial .
Determine uma base ortogonal para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma base ortogonal para o subespaço vetorial , que é gerado pelos vetores , , e . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente os conceitos de subespaço vetorial, base, independência linear e processo de ortogonalização como o de Gram-Schmidt. Para resolver, vamos precisar verificar a independência desses vetores, selecionar uma base para e então aplicar o processo de Gram-Schmidt para torná-la ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores dados são linhadamente independentes ou não. Isso é importante porque, se eles forem dependentes, não serão todos necessários para formar uma base de . Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Passo 3
Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar a independência. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Calculando o determinante de A :
Após calcular, vemos que o determinante é zero, indicando que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 4
Como os vetores são dependentes, precisamos selecionar apenas os vetores linearmente independentes para formar uma base de W . Observando os vetores fornecidos, percebemos que o último vetor (1,0,0,1) pode ser escrito como uma combinação linear dos anteriores. Portanto, podemos desconsiderá-lo e ficar com os vetores (1,0,1,0) , (0,0,1,1) e (-1,0,0,1) que formam uma base para W .
Passo 5
Agora, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para converter essa base em uma base ortogonal. O processo consiste em modificar os vetores de forma que cada novo vetor seja ortogonal aos anteriores.
Primeiro, nomeamos os vetores da base original:
v1 = (1,0,1,0)
v2 = (0,0,1,1)
v3 = (-1,0,0,1)
Passo 6
Começamos com u1 = v1 = (1,0,1,0) . Este será o primeiro vetor da nossa base ortogonal.
Em seguida, calculamos u2 ajustando v2 para ser ortogonal a u1 :