Considere um sistema de comunicação sem fio, onde um sinal modulado é transmitido. Discuta como a Transformada de Fourier pode ser usada para analisar a largura de banda do sinal e como isso afeta a qualidade da transmissão. Como as propriedades de linearidade da transformação ajudam na separação de sinais em diferentes frequências?
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema de comunicação sem fio onde um sinal modulado
é transmitido em banda limitada. Queremos usar a Transformada de Fourier para obter o espectro do sinal, extrair sua largura de banda e entender como isso influencia na qualidade da transmissão. Também precisamos explorar a propriedade de linearidade da Transformada de Fourier para ver como ela facilita a separação de sinais que ocupam faixas de frequência distintas.
Passo 2
Para começar, definimos a Transformada de Fourier de um sinal
no domínio do tempo como
A saída
é uma função complexa que indica quanto de cada frequência
está presente em
. Esse espectro é a base para medir a largura de banda do sinal.
Passo 3
A largura de banda
do sinal é o intervalo de frequências onde
apresenta energia significativa. Formalmente, se o espectro for não nulo entre
e
, definimos
Em sistemas digitais, quanto maior
, maior a taxa de símbolos que podemos transmitir segundo o Teorema de Nyquist, mas também maior a suscetibilidade a ruído e interferências fora dessa faixa.
Passo 4
A qualidade da transmissão está ligada ao fato de que todo canal real limita a banda útil e adiciona ruído branco, geralmente uniforme em frequência. Se
for muito estreito, ocorre distorção de forma de pulso (inter‐símbolo interference) e a taxa de erro de bit (BER) aumenta. Se
for excessivo, o canal entra em regimes de atenuação e capta mais ruído, reduzindo a razão sinal-ruído (SNR) por Hz.
Passo 5
A propriedade de linearidade da Transformada de Fourier afirma que, para sinais
e
e escalares
,
Isso significa que, no domínio de frequência, podemos somar os espectros de forma independente. Se tivermos sinais modulados em bandas diferentes, seus espectros não se sobrepõem e podem ser extraídos separadamente por filtragem.
Passo 6
Ao projetar filtros passa-faixa ou aparadores no domínio de frequência, usamos o espectro
para isolar apenas a faixa desejada. A caracterização exata de
e
obtida via Transformada de Fourier garante que o filtro atenue interferentes em outras bandas, preservando apenas a informação do sinal original.
Resposta
A Transformada de Fourier converte o sinal modulado
em seu espectro
, permitindo medir a largura de banda
e ajustar a taxa de transmissão versus ruído. Uma banda muito estreita causa ISI e erros, e uma banda muito larga aumenta o ruído captado. A linearidade da Transformada de Fourier possibilita tratar cada componente espectral separadamente, de modo que sinais em diferentes faixas são simplesmente somas de seus espectros e podem ser isolados por filtros passa-faixa ou rejeita-faixa, garantindo separação e recuperação limpa de cada portadora.