Considere um sistema de comunicação sem fio, onde um sinal modulado é transmitido. Discuta como a Transformada de Fourier pode ser usada para analisar a largura de banda do sinal e como isso afeta a qualidade da transmissão. Como as propriedades de linearidade da transformação ajudam na separação de sinais em diferentes frequências?

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de comunicação sem fio onde um sinal modulado x(t) é transmitido em banda limitada. Queremos usar a Transformada de Fourier para obter o espectro do sinal, extrair sua largura de banda e entender como isso influencia na qualidade da transmissão. Também precisamos explorar a propriedade de linearidade da Transformada de Fourier para ver como ela facilita a separação de sinais que ocupam faixas de frequência distintas.

Passo 2

Para começar, definimos a Transformada de Fourier de um sinal x(t) no domínio do tempo como
X(f) ;=; Fx(t) ;=;integral-infty^infty x(t),e^-j2pi f t,dt
A saída X(f) é uma função complexa que indica quanto de cada frequência f está presente em x(t). Esse espectro é a base para medir a largura de banda do sinal.

Passo 3

A largura de banda B do sinal é o intervalo de frequências onde X(f) apresenta energia significativa. Formalmente, se o espectro for não nulo entre fL e fH, definimos
B = fH - fL
Em sistemas digitais, quanto maior B, maior a taxa de símbolos que podemos transmitir segundo o Teorema de Nyquist, mas também maior a suscetibilidade a ruído e interferências fora dessa faixa.

Passo 4

A qualidade da transmissão está ligada ao fato de que todo canal real limita a banda útil e adiciona ruído branco, geralmente uniforme em frequência. Se B for muito estreito, ocorre distorção de forma de pulso (inter‐símbolo interference) e a taxa de erro de bit (BER) aumenta. Se B for excessivo, o canal entra em regimes de atenuação e capta mais ruído, reduzindo a razão sinal-ruído (SNR) por Hz.

Passo 5

A propriedade de linearidade da Transformada de Fourier afirma que, para sinais x1(t) e x2(t) e escalares a,b,
Fa,x1(t) + b,x2(t) = a,X1(f) + b,X2(f)
Isso significa que, no domínio de frequência, podemos somar os espectros de forma independente. Se tivermos sinais modulados em bandas diferentes, seus espectros não se sobrepõem e podem ser extraídos separadamente por filtragem.

Passo 6

Ao projetar filtros passa-faixa ou aparadores no domínio de frequência, usamos o espectro X(f) para isolar apenas a faixa desejada. A caracterização exata de fL e fH obtida via Transformada de Fourier garante que o filtro atenue interferentes em outras bandas, preservando apenas a informação do sinal original.

Resposta

A Transformada de Fourier converte o sinal modulado x(t) em seu espectro X(f), permitindo medir a largura de banda B e ajustar a taxa de transmissão versus ruído. Uma banda muito estreita causa ISI e erros, e uma banda muito larga aumenta o ruído captado. A linearidade da Transformada de Fourier possibilita tratar cada componente espectral separadamente, de modo que sinais em diferentes faixas são simplesmente somas de seus espectros e podem ser isolados por filtros passa-faixa ou rejeita-faixa, garantindo separação e recuperação limpa de cada portadora.

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