Considere o Subespaço vetorial W=span(1,0,1,0),(0,0,1,1),(-1,0,0,1),(1,0,0,1).
Determine a projeção ortogonal de v em W, onde v=(2,2,0,0).

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=span(1,0,1,0),(0,0,1,1),(-1,0,0,1),(1,0,0,1)
e o vetor v=(2,2,0,0). Precisamos encontrar a projeção ortogonal de v em W. O conteúdo aqui é projeção ortogonal em subespaço de R^4, o que envolve determinar W^perp.

Passo 2

Note que todos os geradores de W têm segunda coordenada zero, pois são da forma (*,0,*,*). Logo
WsubseteqxinR^4mid x2=0

Passo 3

Verifica-se que uma base de W é, por exemplo,
u1=(1,0,1,0), u2=(0,0,1,1), u4=(1,0,0,1),
que são linearmente independentes, portanto dim W=3. O hiperplano xmid x2=0 também tem dimensão 3, logo
W=xinR^4mid x2=0

Passo 4

O complemento ortogonal de W é o subespaço gerado por
e2=(0,1,0,0),
pois lang<= e2,(x1,0,x3,x4)rang<==0. Assim a projeção ortogonal de v em W é
projW(v)=v-lang<= v,e2rang<=,e2

Passo 5

Calculamos
lang<= v,e2rang<= = (2,2,0,0)cdot(0,1,0,0)=2,
logo
projW(v)=(2,2,0,0)-2,(0,1,0,0)=(2,0,0,0)

Resposta

(2,0,0,0)

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