geram todo W. Note que \dim W=3, pois uma matriz simétrica tem a forma \bigl(\begin{smallmatrix}a&b\b&c\end{smallmatrix}\bigr).
Passo 2
Para que \{A,B,C\} gerasse W, seria preciso que todo elemento de W pudesse ser escrito como combinação linear \alpha A + \beta B + \gamma C. Em particular, a matriz
E_{22} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
pertence a W, logo deveria haver \alpha,\beta,\gamma tais que
Compare entradas das matrizes na soma acima:
– Entrada (1,1): \alpha = 0.
– Entrada (1,2): \gamma = 0.
– Entrada (2,1): \beta = 0.
Mas então a entrada (2,2) da combinação fica 0, o que não bate com o 1 de E_{22}.
Passo 4
Concluímos que não existem escalares \alpha,\beta,\gamma que produzam E_{22}. Logo \displaystyle E_{22}\notin \operatorname{span}\{A,B,C\}, mesmo sendo E_{22}\in W.