Considere o subespaço vetorial W formado pelas matrizes de M_{2}(\mathbb{R}), simétricas. Mostre que as matrizes:
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right) \text { e } C=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right)
geram o subespaço W.

Passo 1

O enunciado diz que
W = \{\,M\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid M^T = M\}
é o subespaço das matrizes simétricas 2\times2. Devemos verificar se
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}
geram todo W. Note que \dim W=3, pois uma matriz simétrica tem a forma \bigl(\begin{smallmatrix}a&b\b&c\end{smallmatrix}\bigr).

Passo 2

Para que \{A,B,C\} gerasse W, seria preciso que todo elemento de W pudesse ser escrito como combinação linear \alpha A + \beta B + \gamma C. Em particular, a matriz
E_{22} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
pertence a W, logo deveria haver \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 3

Compare entradas das matrizes na soma acima:
– Entrada (1,1): \alpha = 0.
– Entrada (1,2): \gamma = 0.
– Entrada (2,1): \beta = 0.
Mas então a entrada (2,2) da combinação fica 0, o que não bate com o 1 de E_{22}.

Passo 4

Concluímos que não existem escalares \alpha,\beta,\gamma que produzam E_{22}. Logo \displaystyle E_{22}\notin \operatorname{span}\{A,B,C\}, mesmo sendo E_{22}\in W.

Resposta

As matrizes A,B,C não geram o subespaço W.

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