Encontre uma equação geral para o plano \pi com sistema de equações paramétricas:
\pi:\left\{\begin{array}{l} x=1+\lambda \\\ y=1-\lambda+\mu \quad, \lambda, \mu \in \mathbb{R} . \\\ z=3+\lambda+3 \mu \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas do plano \pi:
\begin{cases} x = 1 + \lambda,\\\ y = 1 - \lambda + \mu,\\\ z = 3 + \lambda + 3\mu, \end{cases} \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos precisar extrair um ponto do plano, dois vetores diretores, achar o vetor normal e montar a equação geral.

Passo 2

Para obter um ponto no plano, basta tomar \lambda=0 e \mu=0, o que dá o ponto
P_0=(1,1,3).
Os vetores diretores vêm dos coeficientes de \lambda e \mu, ou seja,
\mathbf{u}=(1,-1,1), \quad \mathbf{v}=(0,1,3).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Calculando:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (-1\cdot3 - 1\cdot1)\,\mathbf{i} - (1\cdot3 - 1\cdot0)\,\mathbf{j} + (1\cdot1 - (-1)\cdot0)\,\mathbf{k} = (-4,-3,1).

Passo 4

A equação geral do plano surge de \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0. Com \mathbf{r}=(x,y,z), \mathbf{r_0}=(1,1,3) e \mathbf{n}=(-4,-3,1):
-4(x-1)-3(y-1)+1(z-3)=0.
Expandindo e reorganizando:
-4x-3y+z+4=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x+3y-z-4=0.

Resposta

4x+3y-z-4=0

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