Mostre que as matrizes
A_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right) \text { e } A_{3}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)
formam uma base para W=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbf{R}) ; A^{t}=A\right\}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{A \in M_{2\times2}(\mathbf{R}) \mid A^t = A\},
o espaço de todas as matrizes simétricas 2\times2, e pede para mostrar que
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}
é uma base de W. Precisamos provar que essas matrizes geram W (span) e são linearmente independentes.]

Passo 2

Mostramos que qualquer A\in W pode ser escrito como combinação linear de A_1,A_2,A_3. Uma matriz genérica em W tem a forma
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt]b & c\end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbf{R}. Observe que
a\,A_1 + c\,A_2 + b\,A_3 = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt]b & c\end{pmatrix} = A.
Logo, \operatorname{span}\{A_1,A_2,A_3\} = W.]

Passo 3

Agora mostramos que A_1,A_2,A_3 são linearmente independentes. Suponha
\alpha A_1 + \beta A_2 + \gamma A_3 = 0_{2\times2}.
Olhando a entrada (1,1) dessa soma, vem \alpha=0. Da entrada (2,2), vem \beta=0. Da entrada (1,2), vem \gamma=0. Assim \alpha=\beta=\gamma=0, o que prova independência linear.

Passo 4

Como \dim W=3 (já que uma matriz simétrica 2\times2 tem três parâmetros livres) e temos três vetores que geram W e são independentes, concluímos que \{A_1,A_2,A_3\} é uma base de W.

Resposta

As matrizes A_1,A_2,A_3 formam uma base de W.

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