1. Verifique se o conjunto de todas as soluções do sistema de equações lineares x+y=0 e -3 y+4 x=0 forma um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações lineares
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] -3y+4x=0, \end{cases}
e pede para verificar se o conjunto de todas as soluções desse sistema forma um espaço vetorial (ou seja, um subespaço de \mathbb{R}^2).
Informações relevantes que temos:
  • As incógnitas são x e y.
  • É um sistema homogêneo (o lado direito das equações é zero).
  • O conjunto de soluções que vamos chamar de S é
S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=0,\\\ -3y+4x=0\}.
O que precisa ser respondido: determinar se S é um espaço vetorial (sobre \mathbb{R}), justificando.]

Passo 2

Explicação rápida do que significa checar se S é um espaço vetorial:
  • Na prática, como S\subseteq\mathbb{R}^2, basta verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^2. Para isso é suficiente mostrar três coisas (ou duas, em forma reduzida):
    1. S não é vazio (normalmente mostrando que (0,0)\in S);
    2. S é fechado sob soma: se u,v\in S então u+v\in S;
    3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
  • Alternativamente, existe um teorema útil: o conjunto de soluções de qualquer sistema linear homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} é sempre um subespaço de \mathbb{R}^n. Vou usar esse fato como observação, mas também resolver o sistema explicitamente para ficar bem claro como aplicar na prova.

Passo 3

Resolver explicitamente o sistema passo a passo (substituição):
A primeira equação dá
x+y=0 \quad\Rightarrow\quad x=-y.
Substituindo x=-y na segunda equação:
-3y+4x=0 \quad\Rightarrow\quad -3y+4(-y)=0.
Calcule o lado esquerdo:
-3y+4(-y) = -3y -4y = -7y.
Então a segunda equação fica
-7y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Com y=0 e x=-y obtemos
x=-0=0.
Portanto a única solução do sistema é (x,y)=(0,0). Assim
S=\{(0,0)\}.

Passo 4

Verificação direta dos critérios de subespaço para S=\{(0,0)\}:
  1. Não é vazio: (0,0)\in S (é a própria solução encontrada).
  2. Fechamento por soma: tome quaisquer u,v\in S. Como o único elemento de S é (0,0), temos u=(0,0) e v=(0,0). Então
u+v=(0,0)+(0,0)=(0,0)\in S.
  1. Fechamento por multiplicação por escalar: tome \alpha\in\mathbb{R} e u\in S. Como u=(0,0),
\alpha u = \alpha(0,0) = (0,0)\in S.
Como os três requisitos são satisfeitos, S é um subespaço de \mathbb{R}^2, ou seja, um espaço vetorial.

Passo 5

Comentário útil para a prova (estratégia e intuição): sistemas homogêneos sempre têm pelo menos a solução trivial (0,0,\dots,0); portanto seu conjunto de soluções nunca é vazio. Se houver mais de uma solução, o conjunto normalmente forma uma reta ou plano passando pela origem (subespaço de dimensão \ge 1). No caso desta questão, as duas equações juntas forçam x=0 e y=0, então o espaço de soluções tem dimensão zero — é apenas o subespaço nulo \{(0,0)\}. Saber reconhecer rapidamente solução trivial versus família infinita de soluções é uma habilidade prática para prova.

Resposta

Sim. O conjunto de soluções é S=\{(0,0)\}, que é um subespaço de \mathbb{R}^2 (portanto um espaço vetorial).

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