- Verifique se o conjunto de todas as soluções do sistema de equações lineares
e
forma um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações lineares
e pede para verificar se o conjunto de todas as soluções desse sistema forma um espaço vetorial (ou seja, um subespaço de
).
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- As incógnitas são
e . - É um sistema homogêneo (o lado direito das equações é zero).
- O conjunto de soluções que vamos chamar de
é
O que precisa ser respondido: determinar se
é um espaço vetorial (sobre
), justificando.]
Passo 2
Explicação rápida do que significa checar se
é um espaço vetorial:
- Na prática, como
, basta verificar se é um subespaço de . Para isso é suficiente mostrar três coisas (ou duas, em forma reduzida): -
não é vazio (normalmente mostrando que ); -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
-
- Alternativamente, existe um teorema útil: o conjunto de soluções de qualquer sistema linear homogêneo
é sempre um subespaço de . Vou usar esse fato como observação, mas também resolver o sistema explicitamente para ficar bem claro como aplicar na prova.
Passo 3
Resolver explicitamente o sistema passo a passo (substituição):
A primeira equação dá
A primeira equação dá
Substituindo
na segunda equação:
Calcule o lado esquerdo:
Então a segunda equação fica
Com
e
obtemos
Portanto a única solução do sistema é
. Assim
Passo 4
Verificação direta dos critérios de subespaço para
:
- Não é vazio:
(é a própria solução encontrada). - Fechamento por soma: tome quaisquer
. Como o único elemento de é , temos e . Então
- Fechamento por multiplicação por escalar: tome
e . Como ,
Como os três requisitos são satisfeitos,
é um subespaço de
, ou seja, um espaço vetorial.
Passo 5
Comentário útil para a prova (estratégia e intuição): sistemas homogêneos sempre têm pelo menos a solução trivial
; portanto seu conjunto de soluções nunca é vazio. Se houver mais de uma solução, o conjunto normalmente forma uma reta ou plano passando pela origem (subespaço de dimensão
). No caso desta questão, as duas equações juntas forçam
e
, então o espaço de soluções tem dimensão zero — é apenas o subespaço nulo
. Saber reconhecer rapidamente solução trivial versus família infinita de soluções é uma habilidade prática para prova.
Resposta
Sim. O conjunto de soluções é
, que é um subespaço de
(portanto um espaço vetorial).