Considere os subespaços de
definidos por
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define os subespaços
e pede para mostrar que
.
Por definição, se e somente se
Por definição,
-
, onde
e
2) .
Para resolver, usaremos a caracterização matricial de elementos genéricos em cada subespaço e depois checaremos soma e interseção.
2)
Para resolver, usaremos a caracterização matricial de elementos genéricos em cada subespaço e depois checaremos soma e interseção.
Passo 2
Mostramos que
. Seja
um vetor arbitrário de
. Queremos encontrar
tais que
Comparando coordenadas, temos o sistema
Da primeira equação
. Depois
e
. Essas escolhas satisfazem sempre
e
, e produzem
. Logo todo vetor de
se escreve como soma de um vetor de
com um de
, isto é,
.
Passo 3
Mostramos que
. Seja
. Então
Igualando coordenadas:
,
e
. Da última vem
, e então
. Assim
. Logo a única interseção é o vetor zero.
Passo 4
Como mostramos que
-
, -
,
concluímos que