Considere os subespaços de R^3 definidos por
c W=(x, x, x) mid x in R, W^prime=(x, y, 0) mid x, y in R
Mostre que R^3=W oplus W^prime.

Passo 1

O enunciado define os subespaços
W = (x,x,x)mid xinR, W' = (x,y,0)mid x,yinR,
e pede para mostrar que
R^3 = W oplus W'.
Por definição, Woplus W' = R^3 se e somente se
  1. W + W' = R^3, onde
W + W' = w + w'mid win W, w'in W',
e
2) W cap W' = 0.
Para resolver, usaremos a caracterização matricial de elementos genéricos em cada subespaço e depois checaremos soma e interseção.

Passo 2

Mostramos que W + W' = R^3. Seja (a,b,c) um vetor arbitrário de R^3. Queremos encontrar
w = (x,x,x)in W, w' = (u,v,0)in W'
tais que
w + w' = (x+u,;x+v,;x) = (a,b,c)
Comparando coordenadas, temos o sistema
x = c, x + u = a, x + v = b
Da primeira equação x = c. Depois u = a - c e v = b - c. Essas escolhas satisfazem sempre win W e w'in W', e produzem (a,b,c). Logo todo vetor de R^3 se escreve como soma de um vetor de W com um de W', isto é, W+W'=R^3.

Passo 3

Mostramos que W cap W' = 0. Seja zin Wcap W'. Então
z = (x,x,x)e z = (u,v,0)
Igualando coordenadas: x = u, x = v e x = 0. Da última vem x=0, e então u=v=0. Assim z=(0,0,0). Logo a única interseção é o vetor zero.

Passo 4

Como mostramos que
  1. W+W'=R^3,
  2. Wcap W'=0,
    concluímos que
R^3 = W oplus W'

Resposta

R^3 = W oplus W'.

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