Mostre que W=(x, x, y, y) mid x, y in R é um subespaço de R^4 e indique qual é a dimensåo de W.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = (x,x,y,y)mid x,yinR
que é um subconjunto de R^4. Precisamos mostrar que W é um subespaço vetorial de R^4 (isto é, contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar) e, em seguida, determinar a dimensão de W.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio verificando que o vetor zero de R^4 pertence a W. Basta escolher x=0 e y=0, então
(0,0,0,0)in W
Logo, W contém o vetor neutro.

Passo 3

Verificamos fechamento sob adição. Sejam
u=(x1,x1,y1,y1)in W e v=(x2,x2,y2,y2)in W
Então
u+v = (x1+x2,;x1+x2,;y1+y2,;y1+y2),
e observamos que u+v ainda é da forma (x,x,y,y) com x=x1+x2 e y=y1+y2. Portanto, u+vin W.

Passo 4

Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar. Para alphainR e
u=(x1,x1,y1,y1)in W,
temos
alpha,u = (alpha x1,;alpha x1,;alpha y1,;alpha y1),
que também é da forma (x,x,y,y) (com x=alpha x1 e y=alpha y1). Logo, alpha uin W.

Passo 5

Concluímos que W é subespaço de R^4. Para achar a dimensão, encontramos um conjunto gerador e mostramos independência linear. Note que todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear de
v1=(1,1,0,0), v2=(0,0,1,1),
pois
(x,x,y,y) = x,(1,1,0,0) + y,(0,0,1,1)
Além disso, v1 e v2 são linearmente independentes (não há escalares alpha,beta não triviais tais que alpha v1+beta v2=0 a não ser alpha=beta=0).

Resposta

A partir dos passos anteriores, W é de fato um subespaço de R^4 e dim(W)=2.

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