Mostre que
é um subespaço de
indique qual é a dimensåo de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
que é um subconjunto de
. Precisamos mostrar que
é um subespaço vetorial de
(isto é, contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar) e, em seguida, determinar a dimensão de
.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio verificando que o vetor zero de
pertence a
. Basta escolher
e
, então
Logo,
contém o vetor neutro.
Passo 3
Verificamos fechamento sob adição. Sejam
Então
e observamos que
ainda é da forma
com
e
. Portanto,
.
Passo 4
Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar. Para
e
temos
que também é da forma
(com
e
). Logo,
.
Passo 5
Concluímos que
é subespaço de
. Para achar a dimensão, encontramos um conjunto gerador e mostramos independência linear. Note que todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear de
pois
Além disso,
e
são linearmente independentes (não há escalares
não triviais tais que
a não ser
).
Resposta
A partir dos passos anteriores,
é de fato um subespaço de
e
.