Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores
V1=(1,2,0,1), V2=(0,1,1,-1), V3=(2,6,2,0) e V4=(-1,1,3,-4)
(d) Complete a base encontrada no item (b) para uma base de R^4.

Passo 1

O enunciado pede que, tendo encontrado em (b) uma base de WsubsetR^4 (vimos que dim W=2 e escolhemos como base V1,V2), completemos esse conjunto a uma base de R^4. Vamos usar o Teorema da Extensão de Base: qualquer conjunto de vetores linearmente independentes pode ser estendido a uma base do espaço.

Passo 2

Como dim W=2, precisamos de mais dois vetores em R^4 que não estejam em spanV1,V2. Uma escolha natural são os vetores canônicos
e3 = (0,0,1,0), e4 = (0,0,0,1)

Passo 3

Vamos verificar que
Escrevendo em coordenadas, com
obtemos o sistema
Da primeira equação segue . Da terceira, . Finalmente da quarta, . Logo só a combinação trivial anula o conjunto, que é portanto linearmente independente.

Passo 4

Como agora temos 4 vetores linearmente independentes em R^4, eles formam uma base de R^4.

Resposta

Uma base de R^4 que estende a base V1,V2 de W é
,V1=(1,2,0,1),;V2=(0,1,1,-1),;e3=(0,0,1,0),;e4=(0,0,0,1)

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