(d) Complete a base encontrada no item (b) para uma base de .
Passo 1
O enunciado pede que, tendo encontrado em (b) uma base de (vimos que e escolhemos como base ), completemos esse conjunto a uma base de . Vamos usar o Teorema da Extensão de Base: qualquer conjunto de vetores linearmente independentes pode ser estendido a uma base do espaço.
Passo 2
Como , precisamos de mais dois vetores em que não estejam em . Uma escolha natural são os vetores canônicos
Passo 3
Vamos verificar que
Escrevendo em coordenadas, com
obtemos o sistema
Da primeira equação segue . Da terceira, . Finalmente da quarta, . Logo só a combinação trivial anula o conjunto, que é portanto linearmente independente.
Passo 4
Como agora temos 4 vetores linearmente independentes em R^4, eles formam uma base de R^4.