Mostre que o espaço vetorial das funçōes reais F tem dimensão infinita.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial F de todas as funções de R em R tem dimensão infinita. Lembrando que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base, e que se existir um conjunto infinito de vetores linearmente independentes então não há como representar todo o espaço com um número finito de vetores, ou seja, a dimensão é infinita.

Passo 2

Vamos exibir um conjunto infinito de funções em F que seja linearmente independente. Considere os monômios
S = ,1,; x,; x^2,; x^3,;dots,;x^n,;dots
Para provar que S é linearmente independente, suponha que uma combinação linear finita anule-se como função:
a0cdot 1 + a1,x + a2,x^2 + cdots + an,x^n = 0 para todo xinR
Isso significa que o polinômio
P(x)=a0 + a1x + a2x^2 + cdots + anx^n
é o polinômio zero. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (ou pela unicidade dos coeficientes em polinômios), todos os coeficientes devem ser nulos:
a0 = a1 = cdots = an = 0
Logo, nenhuma combinação não trivial dos monômios produz a função zero, ou seja, S é linearmente independente.

Passo 3

Como exibimos um conjunto S com infinitos vetores (funções) que são linearmente independentes em F, não existe base finita para F. Portanto, a dimensão de F é infinita.

Resposta

O espaço vetorial F das funções reais tem dimensão infinita.

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