Mostre que o espaço vetorial das funçōes reais
tem dimensão infinita.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial
de todas as funções de
em
tem dimensão infinita. Lembrando que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base, e que se existir um conjunto infinito de vetores linearmente independentes então não há como representar todo o espaço com um número finito de vetores, ou seja, a dimensão é infinita.
Passo 2
Vamos exibir um conjunto infinito de funções em
que seja linearmente independente. Considere os monômios
Para provar que
é linearmente independente, suponha que uma combinação linear finita anule-se como função:
Isso significa que o polinômio
é o polinômio zero. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (ou pela unicidade dos coeficientes em polinômios), todos os coeficientes devem ser nulos:
Logo, nenhuma combinação não trivial dos monômios produz a função zero, ou seja,
é linearmente independente.
Passo 3
Como exibimos um conjunto
com infinitos vetores (funções) que são linearmente independentes em
, não existe base finita para
. Portanto, a dimensão de
é infinita.
Resposta
O espaço vetorial
das funções reais tem dimensão infinita.