Considere os subespaços F1, F2 subset R^3 assim definidos: F1 é o conjunto de todos os vetores v=(x, x, x) que têm as três coordenadas iguais e F2 é o conjunto de todos os vetores w=(x, y, 0) que têm a última coordenada igual a zero. Mostre que R^3=F1 oplus F2.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^3:
F1=(x,x,x)mid xinR e
F2=(x,y,0)mid x,yinR.
Queremos mostrar que
R^3=F1oplus F2,
isto é, que todo vetor de R^3 se escreve de forma única como soma de um vetor em F1 e um vetor em F2. Para isso usaremos conceitos de subespaço, soma de subespaços e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro notemos que
F1=span(1,1,1) e F2=span(1,0,0),(0,1,0)
Qualquer coleção de vetores gera um subespaço, logo F1 e F2 são de fato subespaços lineares de R^3.

Passo 3

Mostramos que F1+F2=R^3. Seja v=(a,b,c)inR^3 qualquer. Definimos
u=(c,c,c)in F1, w=(a-c,;b-c,;0)in F2
Então
u+w=(c,c,c)+(a-c,b-c,0)=(a,b,c)=v
Logo todo vetor de R^3 é soma de um elemento de F1 e um de F2.

Passo 4

Falta mostrar que a interseção é só o vetor zero. Se um vetor v está em F1cap F2, então
v=(z,z,z)e v=(x,y,0)
Comparando coordenadas, segue z=0. Então v=(0,0,0). Assim
F1cap F2=(0,0,0)

Resposta

Como F1+F2=R^3 e F1cap F2=0, conclui-se que
R^3=F1oplus F2

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