Considere os subespaços
assim definidos:
é o conjunto de todos os vetores
que têm as três coordenadas iguais e
é o conjunto de todos os vetores
que têm a última coordenada igual a zero. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
e
.
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
isto é, que todo vetor de
se escreve de forma única como soma de um vetor em
e um vetor em
. Para isso usaremos conceitos de subespaço, soma de subespaços e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro notemos que
Qualquer coleção de vetores gera um subespaço, logo
e
são de fato subespaços lineares de
.
Passo 3
Mostramos que
. Seja
qualquer. Definimos
Então
Logo todo vetor de
é soma de um elemento de
e um de
.
Passo 4
Falta mostrar que a interseção é só o vetor zero. Se um vetor
está em
, então
Comparando coordenadas, segue
. Então
. Assim
Resposta
Como
e
, conclui-se que