Mostre que o vetor b=(1,2,2) não é combinação linear dos vetores v1=(1,1,2) e v2=(1,2,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor b=(1,2,2) não pertence ao subespaço gerado pelos vetores v1=(1,1,2) e v2=(1,2,1). Em outras palavras, precisamos verificar que não existem escalares alpha e beta tais que
b = alpha,v1 + beta,v2
O conteúdo aqui é solução de sistema linear para conferir se essa representação é possível.

Passo 2

Supondo que b seja combinação linear de v1 e v2, escrevemos
alpha,(1,1,2) + beta,(1,2,1) = (1,2,2)
Isso gera o sistema
alpha + beta = 1, alpha + 2beta = 2, 2alpha + beta = 2

Passo 3

Resolvendo as duas primeiras equações:
Subtraindo a primeira da segunda, temos
(alpha + 2beta) - (alpha + beta) = 2 - 1 Longrightarrow beta = 1
Substituindo beta=1 em alpha + beta = 1, obtemos
alpha + 1 = 1 Longrightarrow alpha = 0

Passo 4

Verificamos agora a terceira equação com alpha=0 e beta=1:
2alpha + beta = 2cdot 0 + 1 = 1 neq 2
Há, portanto, uma contradição: o mesmo par (alpha,beta) que resolve as duas primeiras não satisfaz a terceira. Logo, não existem escalares que façam
alpha,v1 + beta,v2 = b.

Resposta

O vetor b=(1,2,2) não é combinação linear de v1=(1,1,2) e v2=(1,2,1).

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