Mostre que lang<=F[a, b],+, cdotrang<= é um espaço vetorial com as operações comumente definidas para F[a, b] (funções f:[a, b] R ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
F[a,b] de todas as funções f:[a,b]toR, munido da soma e do produto por escalar definidos por
(f+g)(x)=f(x)+g(x), (alphacdot f)(x)=alpha,f(x),
é um espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, propriedades da soma (comutatividade, associatividade, elemento neutro, inverso) e propriedades do produto escalar (fechamento, distributividades, compatibilidade e elemento neutro).

Passo 2

(Fechamento)
  1. Se f,ginF[a,b], então f+g é função de [a,b] em R, pois para cada xin[a,b] vale
(f+g)(x)=f(x)+g(x)inR,
logo f+ginF[a,b].
2. Se alphainR e finF[a,b], então alphacdot f é função de [a,b] em R, pois
(alphacdot f)(x)=alpha,f(x)inR,
logo alphacdot finF[a,b].

Passo 3

(Propriedades da soma)
  1. Comutatividade: para quaisquer f,g,
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x),
isto é, f+g=g+f.
2. Associatividade: para quaisquer f,g,h,
l((f+g)+hr)(x) =(f+g)(x)+h(x) =l(f(x)+g(x)r)+h(x) =f(x)+l(g(x)+h(x)r) =(f+(g+h))(x),
logo (f+g)+h=f+(g+h).

Passo 4

(Neutro e inverso aditivo)
  1. Neutro aditivo: a função zero 0 definida por 0(x)=0 para todo x satisfaz
(f+0)(x)=f(x)+0=f(x),
logo f+0=f.
2. Inverso aditivo: para cada f define-se -f por (-f)(x)=-f(x). Então
(f+(-f))(x)=f(x)+(-f(x))=0,
isto é, f+(-f)=0.

Passo 5

(Propriedades do produto escalar – distributividades)
  1. Distributividade em relação à soma de vetores: para alphainR e f,ginF[a,b],
l(alphacdot(f+g)r)(x) =alpha,(f+g)(x) =alphal(f(x)+g(x)r) =alpha f(x)+alpha g(x) =l(alphacdot f+alphacdot gr)(x)
  1. Distributividade em relação à soma de escalares: para alpha,betainR e finF[a,b],
l((alpha+beta)cdot fr)(x) =(alpha+beta),f(x) =alpha f(x)+beta f(x) =l(alphacdot f+betacdot fr)(x)

Passo 6

(Compatibilidade de escalares e neutro escalar)
  1. Compatibilidade: para alpha,betainR e finF[a,b],
l(alphacdot(betacdot f)r)(x) =alpha,(beta,f(x)) =(alphabeta),f(x) =l((alphabeta)cdot fr)(x)
  1. Neutro escalar: como 1inR satisfaz
(1cdot f)(x)=1cdot f(x)=f(x),
temos 1cdot f=f.

Resposta

Concluímos que todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre R estão satisfeitas em llang<=F[a,b],+,cdotrrang<=. Portanto, este conjunto com as operações dadas é de fato um espaço vetorial.

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