Mostre que
é um espaço vetorial com as operações comumente definidas para
(funções
).
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
de todas as funções
, munido da soma e do produto por escalar definidos por
é um espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, propriedades da soma (comutatividade, associatividade, elemento neutro, inverso) e propriedades do produto escalar (fechamento, distributividades, compatibilidade e elemento neutro).
Passo 2
(Fechamento)
- Se
, então é função de em , pois para cada vale
logo
.
2. Se e
, então
é função de
em
, pois
2. Se
logo
.
Passo 3
(Propriedades da soma)
- Comutatividade: para quaisquer
,
isto é,
.
2. Associatividade: para quaisquer ,
2. Associatividade: para quaisquer
logo
.
Passo 4
(Neutro e inverso aditivo)
- Neutro aditivo: a função zero
definida por para todo satisfaz
logo
.
2. Inverso aditivo: para cada define-se
por
. Então
2. Inverso aditivo: para cada
isto é,
.
Passo 5
(Propriedades do produto escalar – distributividades)
- Distributividade em relação à soma de vetores: para
e ,
- Distributividade em relação à soma de escalares: para
e ,
Passo 6
(Compatibilidade de escalares e neutro escalar)
- Compatibilidade: para
e ,
- Neutro escalar: como
satisfaz
temos
.
Resposta
Concluímos que todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre
estão satisfeitas em
. Portanto, este conjunto com as operações dadas é de fato um espaço vetorial.