Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais? Justifique!
b) O conjunto dos vetores do R^n cujas coordenadas formam uma progressão geométrica.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = (x1,x2,dots,xn)in R^nmid x1,x2,dots,xn formam uma prog >=om
é subespaço vetorial de R^n. Para isso, lembramos que um subconjunto W é subespaço se satisfaz três condições:
1. 0in W.
2. Fechado sob adição: se u,vin W então u+vin W.
3. Fechado sob multiplicação escalar: se vin W e alphainR então alpha vin W.

Passo 2

Verificamos que 0=(0,0,dots,0)in W, pois a sequência 0,0,dots,0 é uma progressão geométrica degenerada (tanto faz a razão). Logo, a condição de conter o vetor zero está garantida.

Passo 3

Vamos checar o fechamento sob multiplicação escalar. Se
v=(a,ar,ar^2,dots,ar^n-1)in W
então, para alphainR,
alpha v=(alpha a,alpha a r,alpha a r^2,dots,alpha a r^n-1)
também é uma progressão geométrica de primeiro termo alpha a e razão r. Portanto alpha vin W.

Passo 4

Agora o fechamento sob adição. Tome
u=(a,ar,ar^2,dots,ar^n-1), v=(b,bs,bs^2,dots,bs^n-1)
ambos em W. Então
u+v=(a+b,;ar+bs,;ar^2+bs^2,;dots,;ar^n-1+bs^n-1)
Para u+v ser progressão geométrica, precisaríamos um termo inicial c e razão t tais que
ar+bs = c,t, ar^2+bs^2=c,t^2,dots
mas, em geral, essa condição falha. Por exemplo, em R^3 considere
u=(1,2,4)(razão 2), v=(1,3,9)(razão 3) ãã
Então
u+v=(2,5,13)
Como tfrac52neq tfrac135, a sequência 2,5,13 não é progressão geométrica, logo u+vnotin W.

Resposta

O conjunto dos vetores cujas coordenadas formam progressão geométrica não é um subespaço vetorial de R^n (para n>=2), pois não é fechado sob adição.

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