Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais? Justifique!
b) O conjunto dos vetores do
cujas coordenadas formam uma progressão geométrica.
b) O conjunto dos vetores do
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço vetorial de
. Para isso, lembramos que um subconjunto
é subespaço se satisfaz três condições:
.
.
. Fechado sob adição: se
então
.
. Fechado sob multiplicação escalar: se
e
então
.
Passo 2
Verificamos que
, pois a sequência
é uma progressão geométrica degenerada (tanto faz a razão). Logo, a condição de conter o vetor zero está garantida.
Passo 3
Vamos checar o fechamento sob multiplicação escalar. Se
então, para
,
também é uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
. Portanto
.
Passo 4
Agora o fechamento sob adição. Tome
ambos em
. Então
Para
ser progressão geométrica, precisaríamos um termo inicial
e razão
tais que
mas, em geral, essa condição falha. Por exemplo, em
considere
Então
Como
, a sequência
não é progressão geométrica, logo
.
Resposta
O conjunto dos vetores cujas coordenadas formam progressão geométrica não é um subespaço vetorial de
(para
), pois não é fechado sob adição.