Considere U e V subespaços de \mathbb{R}^{4} dados por:
U=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-y-z=0\right. e \left.x-3 y+w=0\right\} e V=[(1,2,0,1),(0,-1,1,0)].
(2,0) (a) Determine as dimensões dos subespaços U, V, U+V e U \cap V.
(0,5) (b) Podemos dizer que \mathbb{R}^{4} é soma direta de U e V ? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • O subespaço U é o conjunto de todos os vetores (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 que satisfazem as duas equações lineares x-y-z=0e x-3y+w=0.
    • O subespaço V é o span (subespaço gerado por) dos vetores (1,2,0,1) e (0,-1,1,0). Ou seja V=\operatorname{span}\{(1,2,0,1),(0,-1,1,0)\}.
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar as dimensões de U, V, U+V e U\cap V.
    (b) Dizer se \mathbb{R}^4 é soma direta de U e V, com justificativa.

Passo 2

Calcular [\dim(U)). Estratégia: resolver o sistema que define U, escrever as coordenadas em função de parâmetros livres e extrair uma base.
As equações são
\begin{cases} x-y-z=0,\\[4pt] x-3y+w=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema para x\] e \(y em função de z e w (escolho z e w como parâmetros livres).
Da primeira equação temos
x=y+z.
Da segunda equação temos
x=3y-w.
Igualando as duas expressões para x:
y+z=3y-w.
Isolando y:
z+w=2y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{z+w}{2}.
Então
x=y+z=\frac{z+w}{2}+z=\frac{3z+w}{2}.
Logo um vetor qualquer de U pode ser escrito como (usando z e w parâmetros):
(x,y,z,w)=\left(\frac{3z+w}{2},\;\frac{z+w}{2},\;z,\;w\right).
Isto mostra que U é gerado por dois vetores (os coeficientes de z e de w). Para evitar frações, escolho os parâmetros z e w de forma a obter vetores inteiros: tomo primeiro z=2,w=0 e depois z=0,w=2. Assim obtenho dois geradores:
(3,1,2,0)\quad\text{e}\quad(1,1,0,2).
Verifico que esses dois vetores são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), portanto formam uma base de U. Conclusão:
\dim(U)=2.
Observação didática rápida: resolver as equações lineares definindo U e contabilizar o número de parâmetros livres é a maneira mais direta de achar a dimensão de um subespaço definido por equações lineares. Aqui tínhamos 4 incógnitas e 2 equações independentes, por isso sobraram 4-2=2 graus de liberdade.]

Passo 3

Calcular \dim(V)\). O subespaço \(V\) é gerado por \[v_1=(1,2,0,1),\qquad v_2=(0,-1,1,0).
Para saber se esses vetores são linearmente independentes resolvo a v_1+b v_2=0. Isso dá o sistema (com as quatro componentes)
\begin{cases} a+0\cdot b=0,\\[4pt] 2a-b=0,\\[4pt] 0\cdot a + b=0,\\[4pt] a+0\cdot b=0. \end{cases}
Da primeira (ou quarta) componente vem a=0\]. Da terceira componente vem \(b=0. Portanto a única solução é a=b=0, ou seja os vetores são linearmente independentes. Assim
\dim(V)=2.
Comentário didático: dois vetores não nulos são independentes sempre que nenhum seja múltiplo do outro; aqui claramente não são múltiplos, e a verificação algébrica confirma.]

Passo 4

Calcular U\cap V. Estratégia: escrever um vetor genérico de V em termos dos parâmetros e exigir que ele satisfaça as equações que definem U.
Um vetor genérico de V é
v=a(1,2,0,1)+b(0,-1,1,0)=(a,\;2a-b,\;b,\;a),
onde a,b\in\mathbb{R}.
Agora imponho as equações de U a esse vetor.
Primeira equação x-y-z=0:
a-(2a-b)-b=0 \quad\Rightarrow\quad a-2a+b-b=0 \quad\Rightarrow\quad -a=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
Segunda equação x-3y+w=0:
a-3(2a-b)+a=0 \quad\Rightarrow\quad -4a+3b=0.
Mas já temos a=0, então a segunda equação reduz a 3b=0, ou seja b=0.
Portanto a única escolha de a,b que faz v\in U é a=b=0, o que significa que U\cap V=\{0\}. Assim
\dim(U\cap V)=0.
Explicação didática: a interseção sendo apenas o vetor nulo significa que não existe vetor não-nulo que pertença simultaneamente aos geradores de V e satisfaça as equações de U.

Passo 5

Calcular \dim(U+V). Uso a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
\dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V).
Substituindo os valores já obtidos:
\dim(U+V)=2+2-0=4.
Como \dim(\mathbb{R}^4)=4, isso também mostra que U+V=\mathbb{R}^4.
Comentário didático: a fórmula acima é muito útil; ela reflete que ao somar subespaços há uma sobreposição (a interseção) que não se deve contar duas vezes.

Passo 6

Responder (b): verificar se \mathbb{R}^4 é soma direta de U e V.
Definição: \mathbb{R}^4 é soma direta de U e V (escreve-se \mathbb{R}^4=U\oplus V) se U+V=\mathbb{R}^4 e U\cap V=\{0\}.
Dos passos anteriores temos exatamente U+V=\mathbb{R}^4 e U\cap V=\{0\}. Portanto sim:
\mathbb{R}^4 = U\oplus V.

Resposta

(a) \dim(U)=2,\quad \dim(V)=2,\quad \dim(U+V)=4,\quad \dim(U\cap V)=0
(b) Sim. \mathbb{R}^4=U\oplus V.

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