Considere U o subespaço de \mathbb{R}^{4}, gerado pelos vetores v_{1}=(1,-1,0,0), v_{2}=(0,2,0,1), v_{3}=(-1,1,0,1) e v_{4}=(3,1,0,1).
(1,0) a) O vetor (2,-3, 0, 1) \in\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right] ? Justifique.
(1,5) b) Exiba uma base para \left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right]. Qual é a dimensão?
(0,5) c) \left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right]=\mathbb{R}^{4} ? Por quê?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Vetores dados:
    • v_{1}=(1,-1,0,0),
    • v_{2}=(0,2,0,1),
    • v_{3}=(-1,1,0,1),
    • v_{4}=(3,1,0,1).
  • Perguntas:
    • (a) O vetor (2,-3,0,1) pertence a \left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]? Justifique.
    • (b) Exiba uma base para \left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]. Qual é a dimensão?
    • (c) \left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]=\mathbb{R}^{4}? Por quê?

Passo 2

O que significa “um vetor pertence ao span”: dizer que (2,-3,0,1)\in\left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]\) é afirmar que existem escalares \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) tais que \[a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}+d v_{4}=(2,-3,0,1).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema linear (cada linha é uma coordenada):
\begin{cases} a - c + 3d = 2,\\[4pt] - a + 2b + c + d = -3,\\[4pt] 0\cdot a + 0\cdot b + 0\cdot c + 0\cdot d = 0,\\[4pt] 0\cdot a + b + c + d = 1. \end{cases}
A terceira equação é 0=0\] (todos os vetores têm terceira coordenada \(0), portanto as equações relevantes são as primeiras, a segunda e a quarta. Vamos resolver-as.
Da primeira:
a = 2 + c - 3d.
Da quarta:
b + c + d = 1 \quad\Rightarrow\quad c = 1 - b - d.
Substituindo a e c na segunda equação:
-(2 + c - 3d) + 2b + c + d = -3.
Simplificando:
-2 - c + 3d + 2b + c + d = -3 \quad\Rightarrow\quad 2b + 4d = -1.
Logo
b + 2d = -\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad b = -\tfrac{1}{2} - 2d.
Substituindo em c = 1 - b - d:
c = 1 -\big(-\tfrac{1}{2}-2d\big) - d = \tfrac{3}{2} + d.
E então
a = 2 + c - 3d = 2 + \big(\tfrac{3}{2}+d\big) - 3d = \tfrac{7}{2} - 2d.
Portanto há infinitas soluções (parâmetro d livre). Por exemplo, tomando d=0 obtemos
a=\tfrac{7}{2},\qquad b=-\tfrac{1}{2},\qquad c=\tfrac{3}{2},\qquad d=0,
e verificamos que
\tfrac{7}{2}v_1 -\tfrac{1}{2}v_2 + \tfrac{3}{2}v_3 + 0\cdot v_4 = (2,-3,0,1).
Conclusão provisória: existe combinação linear que produz (2,-3,0,1), logo esse vetor pertence ao span.]

Passo 3

Agora vamos estudar dependência linear entre v_1,v_2,v_3,v_4 para encontrar uma base e a dimensão.
  • Observação direta: calcule -v_{1}+v_{2}:
-v_{1}+v_{2}=-(1,-1,0,0)+(0,2,0,1)=(-1,1,0,1)=v_{3}.
Portanto v_{3}=-v_{1}+v_{2}. Isso mostra que v_{3} é combinação linear de v_{1} e v_{2}, ou seja v_{3} é redundante no conjunto gerador.
  • Assim o subespaço gerado por v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} é o mesmo que o gerado por v_{1},v_{2},v_{4}:
\left[v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]=\left[v_{1},v_{2},v_{4}\right].

Passo 4

Verificar se [v_{1},v_{2},v_{4}) são linearmente independentes (para poder usá-los como base).
Considere \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{4}=0. Escrevendo por coordenadas:
\begin{cases} \alpha + 0\beta + 3\gamma = 0,\\[4pt] - \alpha + 2\beta + \gamma = 0,\\[4pt] 0=0,\\[4pt] 0\cdot\alpha + \beta + \gamma = 0. \end{cases}
Da primeira obtenha \alpha = -3\gamma\]. Da última, \(\beta = -\gamma. Substituindo na segunda:
-(-3\gamma) + 2(-\gamma) + \gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad 3\gamma -2\gamma +\gamma =0 \quad\Rightarrow\quad 2\gamma =0.
Logo \gamma=0, e então \alpha=\beta=0. Só existe a combinação trivial, portanto v_{1},v_{2},v_{4} são linearmente independentes.]

Passo 5

Conclusão sobre base e dimensão.
  • Como v_{3} é combinação de v_{1},v_{2} e \{v_{1},v_{2},v_{4}\} é um conjunto independente que gera o subespaço, temos que \{v_{1},v_{2},v_{4}\} é uma base de \left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right].
  • A dimensão do subespaço é o número de vetores da base, isto é \dim=3.

Passo 6

Responder se o span é \mathbb{R}^{4}.
  • Observação simples e decisiva: todos os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} têm terceira coordenada igual a 0. Logo qualquer combinação linear dos vetores também terá terceira coordenada 0. Assim nenhum vetor com terceira coordenada diferente de 0 (por exemplo e_{3}=(0,0,1,0)) pode estar no span. Portanto o span não é \mathbb{R}^{4} (que exigiria alcançar vetores com terceira coordenada arbitrária). Em particular a dimensão do span é menor que 4, confirmando que não é todo \mathbb{R}^{4}.

Resposta

a) Sim. Por exemplo (2,-3,0,1)=\tfrac{7}{2}v_{1}-\tfrac{1}{2}v_{2}+\tfrac{3}{2}v_{3}+0\cdot v_{4}.
b) Uma base: \{v_{1},v_{2},v_{4}\}. Dimensão =3.
c) Não. Porque toda combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} tem terceira coordenada 0, logo não é possível obter vetores com terceira coordenada diferente de 0; portanto o span não é \mathbb{R}^{4}.

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