Considere U o subespaço de \mathbb{R}^{4}, gerado pelos vetores v_{1}=(1,-1,0,0), v_{2}=(0,2,0,1), v_{3}=(-1,1,0,1) e v_{4}=(3,1,0,1). (1,0) a) O vetor (2,-3, 0, 1) \in\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right] ? Justifique. (1,5) b) Exiba uma base para \left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right]. Qual é a dimensão? (0,5) c) \left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right]=\mathbb{R}^{4} ? Por quê?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Vetores dados:
v_{1}=(1,-1,0,0),
v_{2}=(0,2,0,1),
v_{3}=(-1,1,0,1),
v_{4}=(3,1,0,1).
Perguntas:
(a) O vetor (2,-3,0,1) pertence a \left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]? Justifique.
(b) Exiba uma base para \left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]. Qual é a dimensão?
(c) \left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]=\mathbb{R}^{4}? Por quê?
Passo 2
O que significa “um vetor pertence ao span”: dizer que (2,-3,0,1)\in\left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]\) é afirmar que existem escalares \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) tais que
\[a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}+d v_{4}=(2,-3,0,1).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema linear (cada linha é uma coordenada):
\begin{cases} a - c + 3d = 2,\\[4pt] - a + 2b + c + d = -3,\\[4pt] 0\cdot a + 0\cdot b + 0\cdot c + 0\cdot d = 0,\\[4pt] 0\cdot a + b + c + d = 1. \end{cases}
A terceira equação é 0=0\] (todos os vetores têm terceira coordenada \(0), portanto as equações relevantes são as primeiras, a segunda e a quarta. Vamos resolver-as.
Da primeira:
a = 2 + c - 3d.
Da quarta:
b + c + d = 1 \quad\Rightarrow\quad c = 1 - b - d.
Substituindo a e c na segunda equação:
-(2 + c - 3d) + 2b + c + d = -3.
Simplificando:
-2 - c + 3d + 2b + c + d = -3 \quad\Rightarrow\quad 2b + 4d = -1.
Logo
b + 2d = -\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad b = -\tfrac{1}{2} - 2d.
Substituindo em c = 1 - b - d:
c = 1 -\big(-\tfrac{1}{2}-2d\big) - d = \tfrac{3}{2} + d.
E então
a = 2 + c - 3d = 2 + \big(\tfrac{3}{2}+d\big) - 3d = \tfrac{7}{2} - 2d.
Portanto há infinitas soluções (parâmetro d livre). Por exemplo, tomando d=0 obtemos
Logo \gamma=0, e então \alpha=\beta=0. Só existe a combinação trivial, portanto v_{1},v_{2},v_{4} são linearmente independentes.]
Passo 5
Conclusão sobre base e dimensão.
Como v_{3} é combinação de v_{1},v_{2} e \{v_{1},v_{2},v_{4}\} é um conjunto independente que gera o subespaço, temos que \{v_{1},v_{2},v_{4}\} é uma base de \left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right].
A dimensão do subespaço é o número de vetores da base, isto é \dim=3.
Passo 6
Responder se o span é \mathbb{R}^{4}.
Observação simples e decisiva: todos os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} têm terceira coordenada igual a 0. Logo qualquer combinação linear dos vetores também terá terceira coordenada 0. Assim nenhum vetor com terceira coordenada diferente de 0 (por exemplo e_{3}=(0,0,1,0)) pode estar no span. Portanto o span não é \mathbb{R}^{4} (que exigiria alcançar vetores com terceira coordenada arbitrária). Em particular a dimensão do span é menor que 4, confirmando que não é todo \mathbb{R}^{4}.
Resposta
a) Sim. Por exemplo (2,-3,0,1)=\tfrac{7}{2}v_{1}-\tfrac{1}{2}v_{2}+\tfrac{3}{2}v_{3}+0\cdot v_{4}.
b) Uma base: \{v_{1},v_{2},v_{4}\}. Dimensão =3.
c) Não. Porque toda combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} tem terceira coordenada 0, logo não é possível obter vetores com terceira coordenada diferente de 0; portanto o span não é \mathbb{R}^{4}.