Verifique se W_{1}=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{R}): A^{t}=-A\right\} e W_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y-2 x^{2}=0\right\} são subespaços vetoriais de M_{n}(\mathbb{R}) e \mathbb{R}^{2} respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais:
W_{1}=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{R}): A^{t}=-A\right\}, subconjunto de M_{n}(\mathbb{R}).
W_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y-2 x^{2}=0\right\}, subconjunto de \mathbb{R}^{2}.
As perguntas explícitas são:
W_{1} é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R})?
W_{2} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Em W_{1} a condição é A^{t}=-A (matrizes antissimétricas ou anti‑simétricas).
Em W_{2} a condição é y=2x^{2} (curva parabólica no plano).
Passo 2
Vou recordar a definição e os critérios que vamos usar — isso é importante para fazer os testes corretamente.
Definição prática de subespaço vetorial: um subconjunto W de um espaço vetorial V (aqui V é M_{n}(\mathbb{R}) ou \mathbb{R}^{2}) é subespaço se e só se:
W contém o vetor zero de V.
W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W.
W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c u\in W.
Esses três testes são equivalentes a testar fechamento sob combinações lineares. Vou usar exatamente esses três itens para cada conjunto.
Também lembro duas propriedades úteis sobre a transposição de matrizes (que vou usar em W_{1}):
Para matrizes A,B\in M_{n}(\mathbb{R}): (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
Para escalar c\in\mathbb{R}: (cA)^{t}=c\,A^{t}.
Passo 3
Verificação de W_{1}.
Vetor zero: o elemento zero em M_{n}(\mathbb{R}) é a matriz nula 0. Calcula-se sua transposta:
0^{t}=0.
Como 0=-0, a matriz nula satisfaz 0^{t}=-0, então 0\in W_{1}.
Fechamento sob adição: suponha A,B\in W_{1}. Isso significa que
A^{t}=-A\qquad\text{e}\qquad B^{t}=-B.
Então, usando a propriedade da transposta de soma,
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t} = -A + (-B)=-(A+B).
Portanto A+B também satisfaz a condição de W_{1}, logo A+B\in W_{1}.
Fechamento sob multiplicação escalar: seja c\in\mathbb{R} e A\in W_{1} (ou seja, A^{t}=-A). Então
(cA)^{t}=c\,A^{t}=c(-A)=-(cA).
Logo cA\in W_{1}.
Como os três critérios são satisfeitos, concluímos que W_{1} é um subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).
Passo 4
Comentário didático e exemplo concreto para W_{1} (para fixar a ideia).
Uma matriz antissimétrica tem todos os elementos da diagonal iguais a zero, e os elementos fora da diagonal satisfazem a_{ij}=-a_{ji}.
Exemplo em n=2:
A=\begin{pmatrix}0 & a\\\\ -a & 0\end{pmatrix},\qquad a\in\mathbb{R},
são exatamente as matrizes de W_{1} em M_{2}(\mathbb{R}). Perceba que somar duas matrizes desse tipo ou multiplicar por escalar ainda produz uma matriz do mesmo formato — isso ilustra os testes algébricos feitos antes.
Passo 5
Verificação de W_{2}.
Vetor zero: o vetor zero em \mathbb{R}^{2} é (0,0). Verifica-se a condição:
y-2x^{2}=0-2\cdot 0^{2}=0,
logo (0,0)\in W_{2}. O primeiro teste passa, mas isso não garante que seja subespaço.
Fechamento sob adição — contraexemplo numérico (bastam contraexemplos):
Considere u=(1,2). Verifica-se u\in W_{2} porque 2-2\cdot 1^{2}=0.
Considere v=(-1,2). Verifica-se v\in W_{2} porque 2-2\cdot(-1)^{2}=2-2=0.
Agora some:
u+v=(1,2)+(-1,2)=(0,4).
Para (0,4) temos y-2x^{2}=4-2\cdot 0^{2}=4\neq 0. Logo u+v\notin W_{2}. Isso mostra que W_{2} não é fechado sob adição.
Como já falhou o fechamento por adição, W_{2} não é subespaço. (Opcional: outro contraexemplo mostrando falha na multiplicação escalar: para u=(1,2)\in W_{2} e c=\tfrac{1}{2}, tem c u=(\tfrac{1}{2},1) e 1-2(\tfrac{1}{2})^{2}=1-2\cdot\tfrac{1}{4}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\neq0, logo c u\notin W_{2}.)
Razão conceitual: a equação y=2x^{2} é não‑linear (contém x^{2}), e o conjunto de soluções de uma equação quadrática geralmente não é fechado por combinações lineares — por isso não forma subespaço.
Resposta
W_{1} é subespaço de M_{n}(\mathbb{R}).\nW_{2} não é subespaço de \mathbb{R}^{2}.