Considere os subespaços de R^3 :
W1=(x, y, z) in R^3 ; x=y, W2=(x, y, z) in R^3 ; x=y=z e W3=(x, y, z) in R^3 ; x=y-z
I. Determine:
a) W1 cap W2.
b) W1 cap W3.
II. Verifique que:
a) W1 cup W2 não é subespaço de R^3.
b) W1 cup W3 não é subespaço de R^3.

Passo 1

O enunciado pede operarmos em R^3 com os subespaços
W1=(x,y,z)colon x=y, W2=(x,y,z)colon x=y=z, W3=(x,y,z)colon x=y-z
Em I queremos as interseções W1cap W2 e W1cap W3.
Em II devemos discutir se as uniões W1cup W2 e W1cup W3 são subespaços (fechamento em soma e escalar).

Passo 2

I,a) Para (x,y,z)in W1cap W2 precisamos simultaneamente
x=y e x=y=z
Da segunda condi\c{c}~ao tiramos x=y e y=z. Logo todo vetor tem a forma (t,t,t). Conclu’imos
W1cap W2=(t,t,t)colon tinR

Passo 3

I,b) Para (x,y,z)in W1cap W3 precisamos
x=y e x=y-z
Substituindo x=y na segunda, d’a y=y-z, da’i z=0. Logo x=y 'e qualquer t e z=0. Assim
W1cap W3=(t,t,0)colon tinR

Passo 4

II,a) A afirma\c{c}~ao n~ao 'e subespa\c{c}o) 'e na verdade falsa, pois (todo satisfaz ). Logo
e 'e subespa\c{c}o (fica fechado em soma, escalar e cont’em o zero).

Passo 5

II,b) Para W1cup W3 mostremos que n~ao 'e fechado em soma.
Escolha
u=(0,0,1)in W1(porque 0=0), v=(-1,0,1)in W3(porque -1=0-1)
Ent~ao
u+v=(0-1,;0+0,;1+1)=(-1,0,2)
Verifique:
se (-1,0,2) estivesse em W1 ter’iamos -1=0 (falso);
se estivesse em W3 ter’iamos -1=0-2=-2 (tamb’em falso).
Logo u+vnotin W1cup W3, o que prova que essa uni~ao n~ao 'e subespa\c{c}o.

Resposta

I,a) W1cap W2=(t,t,t)colon tinR
I,b) W1cap W3=(t,t,0)colon tinR
II,a) A afirma\c{c}~ao 'e falsa: na verdade W1cup W2=W1 'e subespa\c{c}o.
II,b) W1cup W3 n~ao 'e subespa\c{c}o, pois falha em fechar sob soma.

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