Considere os subespaços de
:
e
I. Determine:
a)
.
b)
.
II. Verifique que:
a)
não é subespaço de
.
b)
não é subespaço de
.
I. Determine:
a)
b)
II. Verifique que:
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede operarmos em
com os subespaços
Em I queremos as interseções
e
.
Em II devemos discutir se as uniões e
são subespaços (fechamento em soma e escalar).
Em II devemos discutir se as uniões
Passo 2
I,a) Para
precisamos simultaneamente
Da segunda condi\c{c}~ao tiramos
e
. Logo todo vetor tem a forma
. Conclu’imos
Passo 3
I,b) Para
precisamos
Substituindo
na segunda, d’a
, da’i
. Logo
'e qualquer
e
. Assim
Passo 4
II,a) A afirma\c{c}~ao n~ao 'e subespa\c{c}o) 'e na verdade falsa, pois
(todo
satisfaz
). Logo
e
'e subespa\c{c}o (fica fechado em soma, escalar e cont’em o zero).
Passo 5
II,b) Para
mostremos que n~ao 'e fechado em soma.
Escolha
Escolha
Ent~ao
Verifique:
se estivesse em
ter’iamos
(falso);
se estivesse em ter’iamos
(tamb’em falso).
Logo , o que prova que essa uni~ao n~ao 'e subespa\c{c}o.
se
se estivesse em
Logo
Resposta
I,a)
I,b)
II,a) A afirma\c{c}~ao 'e falsa: na verdade 'e subespa\c{c}o.
II,b) n~ao 'e subespa\c{c}o, pois falha em fechar sob soma.
I,b)
II,a) A afirma\c{c}~ao 'e falsa: na verdade
II,b)