A reta r é dada pelo ponto P(2,1,0) e pelo vetor diretor v=(1,-1,2). O plano pi tem equação 2 x+y-z=3. Determinar se possível o ponto de interseção.

Passo 1

O enunciado dá a reta r que passa por P(2,1,0) com vetor diretor vec v=(1,-1,2) e o plano pi de equação
2x+y-z=3
Queremos saber se existe interseção e, em caso afirmativo, encontrar o ponto.

Passo 2

Escrevemos a reta em forma paramétrica, com parâmetro t:
(x,y,z) = (2,1,0) + t,(1,-1,2) Longrightarrow x = 2 + t, y = 1 - t, z = 2t

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação do plano:
2(2+t) + (1-t) - (2t) = 3
Agora simplificamos:
4 + 2t + 1 - t - 2t = 3 Longrightarrow 5 - t = 3 Longrightarrow t = 2

Passo 4

Com t=2, obtemos o ponto de interseção na reta:
(x,y,z) = (2+2,;1-2,;2cdot 2) = (4,-1,4)

Resposta

O ponto de interseção entre a reta r e o plano pi é (4,-1,4).

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