Considere o subspaço
de
.
(a) Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
(b) Mostre o conjunto
é uma base para
.
(a) Mostre que o conjunto
(b) Mostre o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
S = {p(x) ∈ P₂ ∣ ∫₀¹ p(x) dx = 0} é um subespaço de P₂ e que B = {–½ + x, –⅓ + x²} é uma base de S. O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial (fechamento em soma e escalar) e noções de independência linear, dimensão e base em espaços de polinômios de grau ≤ 2.
S = {p(x) ∈ P₂ ∣ ∫₀¹ p(x) dx = 0} é um subespaço de P₂ e que B = {–½ + x, –⅓ + x²} é uma base de S. O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial (fechamento em soma e escalar) e noções de independência linear, dimensão e base em espaços de polinômios de grau ≤ 2.
Passo 2
Para provar que S é subespaço de P₂ precisamos checar três propriedades:
- O polinômio zero p(x)=0 satisfaz ∫₀¹0 dx=0, logo 0∈S.
- Se p,q∈S então ∫₀¹(p+q)dx = ∫₀¹p dx + ∫₀¹q dx = 0+0 = 0, logo p+q∈S.
- Para λ∈ℝ e p∈S temos ∫₀¹(λp)dx = λ ∫₀¹p dx = λ·0 = 0, então λp∈S. Assim S é subespaço.
Passo 3
Antes de mostrar que B é base, verificamos que seus elementos estão em S:
– Para p₁(x)=–½ + x temos
– Para p₁(x)=–½ + x temos
– Para p₂(x)=–⅓ + x² temos
Logo p₁,p₂∈S.
Passo 4
Sabemos que dim(P₂)=3 e que S é definido por uma única equação linear ∫₀¹p=0, então dim(S)=2. Para mostrarmos que B é base de S basta ver que p₁ e p₂ são linearmente independentes em S. Se αp₁+βp₂=0 então comparando coeficientes de x², x e constante obtemos β=0 e α=0. Portanto {p₁,p₂} é lin. ind. e tem o mesmo número de vetores que a dimensão de S.
Passo 5
Como B contém 2 vetores em S, é um conjunto linearmente independente e dim(S)=2, concluímos que B é uma base de S.
Resposta
S é subespaço de P₂ e B = {–½ + x, –⅓ + x²} é base de S.