Considere o subspaço S=p(x) in P2 / integral0^1 p(x) d x=0 de P2.
(a) Mostre que o conjunto S é um subespaço vetorial de P2
(b) Mostre o conjunto B=-12+x,-13+x^2 é uma base para S.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
S = {p(x) ∈ P₂ ∣ ∫₀¹ p(x) dx = 0} é um subespaço de P₂ e que B = {–½ + x, –⅓ + x²} é uma base de S. O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial (fechamento em soma e escalar) e noções de independência linear, dimensão e base em espaços de polinômios de grau ≤ 2.

Passo 2

Para provar que S é subespaço de P₂ precisamos checar três propriedades:
  1. O polinômio zero p(x)=0 satisfaz ∫₀¹0 dx=0, logo 0∈S.
  2. Se p,q∈S então ∫₀¹(p+q)dx = ∫₀¹p dx + ∫₀¹q dx = 0+0 = 0, logo p+q∈S.
  3. Para λ∈ℝ e p∈S temos ∫₀¹(λp)dx = λ ∫₀¹p dx = λ·0 = 0, então λp∈S. Assim S é subespaço.

Passo 3

Antes de mostrar que B é base, verificamos que seus elementos estão em S:
– Para p₁(x)=–½ + x temos
integral0^1p₁(x)dx = integral0^1(tfrac12 + x)dx = tfrac12·1 + tfrac12 = 0
– Para p₂(x)=–⅓ + x² temos
integral0^1p₂(x)dx = tfrac13·1 + tfrac13 = 0
Logo p₁,p₂∈S.

Passo 4

Sabemos que dim(P₂)=3 e que S é definido por uma única equação linear ∫₀¹p=0, então dim(S)=2. Para mostrarmos que B é base de S basta ver que p₁ e p₂ são linearmente independentes em S. Se αp₁+βp₂=0 então comparando coeficientes de x², x e constante obtemos β=0 e α=0. Portanto {p₁,p₂} é lin. ind. e tem o mesmo número de vetores que a dimensão de S.

Passo 5

Como B contém 2 vetores em S, é um conjunto linearmente independente e dim(S)=2, concluímos que B é uma base de S.

Resposta

S é subespaço de P₂ e B = {–½ + x, –⅓ + x²} é base de S.

Exercícios relacionados