Mostre que o conjunto
e
é um subspaço vetorial de
.
Passo 1
Resumo: Queremos mostrar que o conjunto T = {p(x)∈P₃ ∣ p(−1)=0 e p′(1)=0} é um subespaço vetorial de P₃. O conteúdo usado é o teste de subespaço: verificar que T não está vazio, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, mostramos que o polinômio zero pertence a T. Seja p₀(x)=0 para todo x. Então p₀(−1)=0 e p₀′(x)=0 para todo x, logo p₀′(1)=0. Portanto p₀∈T e T é não vazio.
Passo 3
Agora, provamos a fechamento sob soma. Sejam p e q em T. Isso quer dizer que p(−1)=0, p′(1)=0, q(−1)=0 e q′(1)=0. Então para o polinômio (p+q) temos (p+q)(−1)=p(−1)+q(−1)=0+0=0 e (p+q)′(1)=p′(1)+q′(1)=0+0=0. Logo p+q∈T.
Passo 4
Por fim, verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja α∈ℝ e p∈T, isto é p(−1)=0 e p′(1)=0. Então (αp)(−1)=α·p(−1)=α·0=0 e (αp)′(1)=α·p′(1)=α·0=0. Assim αp∈T.
Passo 5
Como T contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que T é um subespaço vetorial de P₃.
Resposta
T é subespaço vetorial de P₃.