Mostre que o conjunto T=p(x) in P3 / p(-1)=0 e p^prime(1)=0 é um subspaço vetorial de P3.

Passo 1

Resumo: Queremos mostrar que o conjunto T = {p(x)∈P₃ ∣ p(−1)=0 e p′(1)=0} é um subespaço vetorial de P₃. O conteúdo usado é o teste de subespaço: verificar que T não está vazio, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, mostramos que o polinômio zero pertence a T. Seja p₀(x)=0 para todo x. Então p₀(−1)=0 e p₀′(x)=0 para todo x, logo p₀′(1)=0. Portanto p₀∈T e T é não vazio.

Passo 3

Agora, provamos a fechamento sob soma. Sejam p e q em T. Isso quer dizer que p(−1)=0, p′(1)=0, q(−1)=0 e q′(1)=0. Então para o polinômio (p+q) temos (p+q)(−1)=p(−1)+q(−1)=0+0=0 e (p+q)′(1)=p′(1)+q′(1)=0+0=0. Logo p+q∈T.

Passo 4

Por fim, verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja α∈ℝ e p∈T, isto é p(−1)=0 e p′(1)=0. Então (αp)(−1)=α·p(−1)=α·0=0 e (αp)′(1)=α·p′(1)=α·0=0. Assim αp∈T.

Passo 5

Como T contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que T é um subespaço vetorial de P₃.

Resposta

T é subespaço vetorial de P₃.

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