Considere os subconjuntos de R^2, W1=(x, y) in R^2 / y=x e W2=(x, y) in R^2 / y=2 x.
(a) Mostre que W1 e W2 são subespaços vetoriais de R^2
(b) Verifique que R^2=W1 oplus W2.

Passo 1

A questão é sobre os subespaços lineares W₁={ (x,y)∈ℝ² | y=x } e W₂={ (x,y)∈ℝ² | y=2x } e pede (a) mostrar que cada um é subespaço vetorial de ℝ² e (b) verificar que ℝ²=W₁⊕W₂.

Passo 2

Para mostrar que W₁ é subespaço de ℝ², precisamos verificar três coisas: (i) o vetor zero está em W₁; (ii) W₁ é fechado sob soma; (iii) W₁ é fechado sob multiplicação escalar. (i) Como zero=(0,0) satisfaz 0=0, temos zero∈W₁. (ii) Se u=(x₁,x₁) e v=(x₂,x₂) estão em W₁, então u+v=(x₁+x₂,x₁+x₂) e a segunda coordenada é igual à primeira, logo u+v∈W₁. (iii) Para escalar λ∈ℝ e u=(x,x)∈W₁, λu=(λx,λx) e de novo as coordenadas são iguais, então λu∈W₁. Portanto W₁ é subespaço.

Passo 3

O mesmo procedimento vale para W₂. (i) zero=(0,0) satisfaz 0=2·0, então zero∈W₂. (ii) Se u=(x₁,2x₁) e v=(x₂,2x₂) estão em W₂, então u+v=(x₁+x₂,2x₁+2x₂)=(x₁+x₂,2(x₁+x₂)), que está em W₂. (iii) Para λ∈ℝ, λu=(λx,2λx)=(λx,2(λx)), então λu∈W₂. Logo W₂ também é subespaço.

Passo 4

Agora vamos mostrar que todo vetor (a,b)∈ℝ² pode ser escrito de modo único como soma de um vetor de W₁ e um vetor de W₂. Buscamos α,β tais que
(a,b)=α(1,1)+β(1,2)
Isso gera o sistema:
a=α+β,
b=α+2β

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos b−a=β. Em seguida α=a−β=a−(b−a)=2a−b. Portanto existe solução única (α,β)=(2a−b,b−a), mostrando que ℝ²=W₁+W₂ e que a soma é direta.

Passo 6

Por fim, para verificar a soma direta, calculamos W₁∩W₂. Se (x,y)∈W₁∩W₂ então y=x e y=2x. Logo x=2x implica x=0 e y=0, de modo que a única interseção é o vetor zero. Assim ℝ²=W₁⊕W₂.

Resposta

W₁ e W₂ são subespaços de ℝ² e ℝ²=W₁⊕W₂.

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