Considere os subconjuntos de
e
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(a) Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
(b) Verifique que
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(a) Mostre que
(b) Verifique que
Passo 1
A questão é sobre os subespaços lineares W₁={ (x,y)∈ℝ² | y=x } e W₂={ (x,y)∈ℝ² | y=2x } e pede (a) mostrar que cada um é subespaço vetorial de ℝ² e (b) verificar que ℝ²=W₁⊕W₂.
Passo 2
Para mostrar que W₁ é subespaço de ℝ², precisamos verificar três coisas: (i) o vetor zero está em W₁; (ii) W₁ é fechado sob soma; (iii) W₁ é fechado sob multiplicação escalar. (i) Como zero=(0,0) satisfaz 0=0, temos zero∈W₁. (ii) Se u=(x₁,x₁) e v=(x₂,x₂) estão em W₁, então u+v=(x₁+x₂,x₁+x₂) e a segunda coordenada é igual à primeira, logo u+v∈W₁. (iii) Para escalar λ∈ℝ e u=(x,x)∈W₁, λu=(λx,λx) e de novo as coordenadas são iguais, então λu∈W₁. Portanto W₁ é subespaço.
Passo 3
O mesmo procedimento vale para W₂. (i) zero=(0,0) satisfaz 0=2·0, então zero∈W₂. (ii) Se u=(x₁,2x₁) e v=(x₂,2x₂) estão em W₂, então u+v=(x₁+x₂,2x₁+2x₂)=(x₁+x₂,2(x₁+x₂)), que está em W₂. (iii) Para λ∈ℝ, λu=(λx,2λx)=(λx,2(λx)), então λu∈W₂. Logo W₂ também é subespaço.
Passo 4
Agora vamos mostrar que todo vetor (a,b)∈ℝ² pode ser escrito de modo único como soma de um vetor de W₁ e um vetor de W₂. Buscamos α,β tais que
Isso gera o sistema:
Passo 5
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos b−a=β. Em seguida α=a−β=a−(b−a)=2a−b. Portanto existe solução única (α,β)=(2a−b,b−a), mostrando que ℝ²=W₁+W₂ e que a soma é direta.
Passo 6
Por fim, para verificar a soma direta, calculamos W₁∩W₂. Se (x,y)∈W₁∩W₂ então y=x e y=2x. Logo x=2x implica x=0 e y=0, de modo que a única interseção é o vetor zero. Assim ℝ²=W₁⊕W₂.
Resposta
W₁ e W₂ são subespaços de ℝ² e ℝ²=W₁⊕W₂.