Um mol de um gás ideal com C. 1,5R, está no estado inicial de 300 K e 1 atm . Para cada transformação a seguir, calcule q, w, dU, dH, dS e dG.
O gás expande-se adiabática e reversivelmente até que a pressão final do gás seja de
O gás expande-se adiabática e reversivelmente até que a pressão final do gás seja de
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que vem do enunciado):
- Um mol do gás ideal:
. - Capacidade térmica molar a volume constante dada:
. - Estado inicial:
, . - Estado final:
. - Processo: adiabático e reversível (logo sem troca de calor reversível com o ambiente).
O enunciado pede, para essa transformação, os valores de, , , , e .
Passo 2
Primeiras observações e fórmulas úteis (explicando cada símbolo):
- Para um gás ideal mono-ideal com capacidades constantes:
-
é a capacidade térmica molar a volume constante (J·mol{-1}·K{-1}). -
é a capacidade térmica molar a pressão constante e vale . -
(gamma) é a razão .
-
- Para um processo adiabático reversível de gás ideal valem as relações:
-
. -
. - Uma relação direta entre
e útil aqui é
-
- Energia interna e entalpia (para gás ideal com
e constantes): -
. -
. - Convenção de sinais (nível que usamos):
é calor absorvido pelo sistema (positivo se entra calor), é trabalho realizado sobre o sistema (positivo se feito sobre o sistema). A relação da 1ª lei é Para uma expansão livre/quase-reversível em que o sistema realiza trabalho sobre a vizinhança, será negativo (trabalho feito pelo sistema).
-
- Entropia: para processo adiabático e reversível vale
. - Sobre
: é função de estado. A diferença pode ser escrita exatamente, mas quando o processo envolve variação de temperatura a determinação numérica de exige conhecer a entropia absoluta (ou o valor de num estado de referência). Vou explicar e aplicar isso depois.
Passo 3
Calcular
e a temperatura final
.
- Primeiro obtenho
e :
- Uso a relação entre
e para adiabática reversível: Aqui .
Substituindo números:Calculemos .
PortantoVou guardar (mantendo mais dígitos para cálculo numérico subsequente).
Passo 4
Calcular
e
.
- O processo é adiabático e reversível: isso significa que não há calor trocado reversivelmente com o entorno, logo
- Para adiabático reversível a entropia do sistema não muda:
Comentário didático: a entropia é uma função de estado; se um processo reversível é adiabático, a entropia do sistema permanece igual (nenhuma geração nem troca com o entorno).
Passo 5
Calcular
e o trabalho
.
- Fórmula para
de gás ideal (capacidades constantes): Substituindo , , , e : Calcule:
Arredondando razoavelmente:
.
- Pela 1ª lei:
. Como , segue Interpretação física (sinal): significa que o sistema fez trabalho sobre o entorno (expansão), de magnitude .
Passo 6
Calcular
.
- Fórmula:
.
Come ,
Arredondando:
.
Passo 7
Discussão sobre
e a conclusão (por que não podemos dar um valor numérico sem informação extra).
- Por definição
, logo Como o processo é adiabático reversível, , isto é . Substituindo: Observe: embora , o termo não desaparece porque mudou; portanto depende do valor absoluto de (ou equivalentemente do valor absoluto de em um estado de referência). Em outras palavras, para um processo não isotérmico a variação numérica de exige conhecer a entropia absoluta (ou uma constante de referência para ) no estado inicial. - Conclusão prática: com os dados fornecidos (apenas
, , , ) NÃO é possível determinar numericamente sem informação adicional (por exemplo, o valor de ou de em alguma referência). Pode-se, entretanto, escrever em função de : Substituindo já calculado, Como , isso dá Aqui é a entropia total do sistema no estado inicial (em J·K^{-1}).
Comentário motivador: é muito comum no curso você encontrar que
é fácil de calcular em processos isotérmicos; quando a temperatura muda, sem um referencial para entropia/energia livre você não tem número absoluto. Não se preocupe — essa é uma sutileza que pega muita gente.