Um mol de um gás ideal com C. 1,5R, está no estado inicial de 300 K e 1 atm . Para cada transformação a seguir, calcule q, w, dU, dH, dS e dG.
O gás expande-se adiabática e reversivelmente até que a pressão final do gás seja de 0,5 \mathrm{~atm

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que vem do enunciado):
  • Um mol do gás ideal: n=1\\ \mathrm{mol}.
  • Capacidade térmica molar a volume constante dada: C_V=1{,}5\,R.
  • Estado inicial: T_1=300\\ \mathrm{K}, P_1=1{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Estado final: P_2=0{,}50\\ \mathrm{atm}.
  • Processo: adiabático e reversível (logo sem troca de calor reversível com o ambiente).
    O enunciado pede, para essa transformação, os valores de q, w, \Delta U, \Delta H, \Delta S e \Delta G.

Passo 2

Primeiras observações e fórmulas úteis (explicando cada símbolo):
  • Para um gás ideal mono-ideal com capacidades constantes:
    • C_V é a capacidade térmica molar a volume constante (J·mol{-1}·K{-1}).
    • C_P é a capacidade térmica molar a pressão constante e vale \;C_P=C_V+R.
    • \gamma (gamma) é a razão \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}.
  • Para um processo adiabático reversível de gás ideal valem as relações:
    • \;P V^{\gamma}=\text{constante}.
    • \;T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
    • Uma relação direta entre T e P útil aqui é T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Energia interna e entalpia (para gás ideal com C_V e C_P constantes):
    • \Delta U = n C_V (T_2 - T_1).
    • \Delta H = n C_P (T_2 - T_1).
    • Convenção de sinais (nível que usamos): q é calor absorvido pelo sistema (positivo se entra calor), w é trabalho realizado sobre o sistema (positivo se feito sobre o sistema). A relação da 1ª lei é \Delta U = q + w.Para uma expansão livre/quase-reversível em que o sistema realiza trabalho sobre a vizinhança, w será negativo (trabalho feito pelo sistema).
  • Entropia: para processo adiabático e reversível vale \Delta S=0.
  • Sobre \Delta G: G=H-TS é função de estado. A diferença \Delta G=G_2-G_1 pode ser escrita exatamente, mas quando o processo envolve variação de temperatura a determinação numérica de \Delta G exige conhecer a entropia absoluta (ou o valor de G num estado de referência). Vou explicar e aplicar isso depois.

Passo 3

Calcular \gamma e a temperatura final T_2.
  • Primeiro obtenho C_P e \gamma: C_V = 1{,}5\,R \quad\Rightarrow\quad C_P = C_V + R = 2{,}5\,R.
\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{2{,}5\,R}{1{,}5\,R} = \frac{5}{3}\approx1{,}666\ldots
  • Uso a relação entre T e P para adiabática reversível: T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.Aqui \dfrac{\gamma-1}{\gamma}=\dfrac{(5/3)-1}{5/3}=\dfrac{2/3}{5/3}=\dfrac{2}{5}=0{,}4.
    Substituindo números: T_2 = 300\\ \mathrm{K}\times\left(0{,}5\right)^{0{,}4}.Calculemos \left(0{,}5\right)^{0{,}4}=\mathrm{e}^{0{,}4\ln 0{,}5}\approx \mathrm{e}^{-0{,}277259}\approx0{,}7579.
    Portanto T_2 \approx 300\times0{,}7579 \approx 227{,}4\\ \mathrm{K}.Vou guardar T_2=227{,}37\\ \mathrm{K} (mantendo mais dígitos para cálculo numérico subsequente).

Passo 4

Calcular q e \Delta S.
  • O processo é adiabático e reversível: isso significa que não há calor trocado reversivelmente com o entorno, logo q=0.
  • Para adiabático reversível a entropia do sistema não muda: \Delta S = 0.
Comentário didático: a entropia é uma função de estado; se um processo reversível é adiabático, a entropia do sistema permanece igual (nenhuma geração nem troca com o entorno).

Passo 5

Calcular \Delta U e o trabalho w.
  • Fórmula para \Delta U de gás ideal (capacidades constantes): \Delta U = n C_V (T_2 - T_1).Substituindo n=1, C_V=1{,}5\,R, R=8{,}3144626\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}, e T_2-T_1=227{,}37-300=-72{,}63\\ \mathrm{K}: \Delta U = 1\times1{,}5R\times(-72{,}6299)\\ \mathrm{K}.Calcule: 1{,}5R = 1{,}5\times8{,}3144626\approx12{,}471694\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.
\Delta U \approx 12{,}471694\times(-72{,}6299)\approx -905{,}7\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente: \Delta U\approx -9,06\times10^{2}\\ \mathrm{J}.
  • Pela 1ª lei: \Delta U = q + w. Como q=0, segue w=\Delta U \approx -905{,}7\\ \mathrm{J}.Interpretação física (sinal): w<0 significa que o sistema fez trabalho sobre o entorno (expansão), de magnitude 905{,}7\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular \Delta H.
  • Fórmula: \Delta H = n C_P (T_2 - T_1).
    Com C_P=2{,}5\,R e T_2-T_1=-72{,}6299\\ \mathrm{K}, 2{,}5R = 2{,}5\times8{,}3144626\approx20{,}786157\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.
\Delta H = 1\times20{,}786157\times(-72{,}6299)\approx -1509{,}5\\ \mathrm{J}.
Arredondando: \Delta H\approx -1,51\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Discussão sobre \Delta G e a conclusão (por que não podemos dar um valor numérico sem informação extra).
  • Por definição G=H-TS, logo \Delta G = G_2-G_1 = \Delta H - (T_2 S_2 - T_1 S_1).Como o processo é adiabático reversível, \Delta S=S_2-S_1=0, isto é S_2=S_1. Substituindo: \Delta G = \Delta H - S_1(T_2 - T_1).Observe: embora \Delta S=0, o termo S_1(T_2-T_1) não desaparece porque T mudou; portanto \Delta G depende do valor absoluto de S_1 (ou equivalentemente do valor absoluto de G em um estado de referência). Em outras palavras, para um processo não isotérmico a variação numérica de G exige conhecer a entropia absoluta (ou uma constante de referência para G) no estado inicial.
  • Conclusão prática: com os dados fornecidos (apenas C_V, T_1, P_1, P_2) NÃO é possível determinar numericamente \Delta G sem informação adicional (por exemplo, o valor de S_1 ou de G_1 em alguma referência). Pode-se, entretanto, escrever \Delta G em função de S_1: \Delta G = \Delta H - S_1(T_2 - T_1).Substituindo \Delta H já calculado, \Delta G \approx -1509{,}5\\ \mathrm{J} - S_1\,(227{,}37-300)\\ \mathrm{K}.Como 227{,}37-300=-72{,}63\\ \mathrm{K}, isso dá \Delta G \approx -1509{,}5\\ \mathrm{J} + 72{,}63\;S_1.Aqui S_1 é a entropia total do sistema no estado inicial (em J·K^{-1}).
Comentário motivador: é muito comum no curso você encontrar que \Delta G é fácil de calcular em processos isotérmicos; quando a temperatura muda, sem um referencial para entropia/energia livre você não tem número absoluto. Não se preocupe — essa é uma sutileza que pega muita gente.

Resposta

q = 0
w \approx -9{,}06\times10^{2}\\ \mathrm{J}
\Delta U \approx -9{,}06\times10^{2}\\ \mathrm{J}
\Delta H \approx -1{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{J}
\Delta S = 0
\Delta G: não é possível determinar numericamente com os dados fornecidos; em função de S_1 tem-se \displaystyle \Delta G \approx -1{,}509\times10^{3}\\ \mathrm{J} + 72{,}63\;S_1 (com S_1 em \mathrm{J\;K^{-1}}).

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