Dado que
lim x 2 f(x)=4 lim x 2 g(x)=-2 lim x 2 h(x)=0
encontre, se existir, o limite dado. Caso não exista, explique por quê.
lim x 2 g(x)f(x) h(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto2g(x)f(x)h(x), sabendo que limxto2f(x)=4, limxto2g(x)=-2 e limxto2h(x)=0. O tema é aplicação das regras de limite de funções, em particular as do produto e do quociente.

Passo 2

Primeiro, calculamos separadamente o limite do numerador e do denominador. Temos limxto2g(x)=-2. Para o denominador, usamos a regra do produto: limxto2l(f(x)h(x)r)=l(limxto2f(x)r)cdotl(limxto2h(x)r)=4cdot0=0.

Passo 3

Como o numerador tende a -2 (número diferente de zero) e o denominador tende a 0, não podemos aplicar a regra do quociente diretamente (divisão por zero). Nessa situação, a fração cresce sem limite em módulo, causando uma divergência.

Passo 4

Além disso, o sinal do infinito dependeria do sinal de h(x) quando x se aproxima de 2, informação que não temos. Logo, não há limite finito nem mesmo um infinito único bem-definido.

Resposta

O limite não existe.

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