Considere a superfcie S: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{3}=0.
(1d) (1,0 ponto) Determine a equação do plano tangente T S_{a}, para a=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, 1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{3}=0
e o ponto
a=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\;\dfrac{1}{\sqrt{3}},\;1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right).
O que se pede: determinar a equação do plano tangente T_{a}S à superfície no ponto a.

Passo 2

Ideia principal (fórmula que vou usar): se uma superfície é dada implicitamente por \;F(x_{1},x_{2},x_{3})=0\;, então o gradiente \nabla F(a) é um vetor normal ao plano tangente em a, e a equação do plano tangente é
\nabla F(a)\cdot\bigl(x-a\bigr)=0.
Explicando devagar: \nabla F=(\partial_{x_{1}}F,\partial_{x_{2}}F,\partial_{x_{3}}F) é o vetor formado pelas derivadas parciais de F. Geometricamente, esse vetor aponta na direção perpendicular à superfície. A equação acima diz que o vetor que liga a a um ponto genérico x do plano tangente é ortogonal a esse normal.

Passo 3

Defino a função F correspondente à superfície:
F(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{3}.
Calculo as derivadas parciais (explicando cada termo):
\partial_{x_{1}}F=2x_{1}, \qquad \partial_{x_{2}}F=2x_{2}, \qquad \partial_{x_{3}}F=2x_{3}-2.
Cada derivada parcial é a taxa de variação de F em relação àquela coordenada mantendo as outras fixas; por exemplo \partial_{x_{1}}F=2x_{1} vem de derivar x_{1}^{2} em relação a x_{1}.

Passo 4

Avalio o gradiente em a. Substituo x_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\;x_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\;x_{3}=1+\dfrac{1}{\sqrt{3}} nas derivadas:
\partial_{x_{1}}F(a)=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \qquad \partial_{x_{2}}F(a)=\dfrac{2}{\sqrt{3}},
\partial_{x_{3}}F(a)=2\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)-2 =2+\dfrac{2}{\sqrt{3}}-2=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
Portanto
\nabla F(a)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\;\dfrac{2}{\sqrt{3}},\;\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) =\dfrac{2}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Observação útil: o normal é proporcional a (1,1,1).

Passo 5

Escrevo a equação do plano tangente usando \nabla F(a)\cdot(x-a)=0:
\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\cdot \bigl(x_{1}-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\;x_{2}-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\;x_{3}-\bigl(1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\bigr)=0.
Desenvolvendo o produto escalar:
\dfrac{2}{\sqrt{3}}\bigl(x_{1}-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) +\dfrac{2}{\sqrt{3}}\bigl(x_{2}-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) +\dfrac{2}{\sqrt{3}}\bigl(x_{3}-\bigl(1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\bigr)=0.

Passo 6

Fatoro \dfrac{2}{\sqrt{3}} e simplifico:
\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigl(x_{1}+x_{2}+x_{3}-\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}+\tfrac{1}{\sqrt{3}}+1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\Bigr)=0.
Calculo a soma dos componentes de a:
\tfrac{1}{\sqrt{3}}+\tfrac{1}{\sqrt{3}}+\Bigl(1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =1+\dfrac{3}{\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}.
Como \dfrac{2}{\sqrt{3}}\neq 0, posso dividir por esse fator e obter a forma simples do plano:
x_{1}+x_{2}+x_{3}=1+\sqrt{3}.

Passo 7

Comentário de verificação (modo alternativo, rápido): escrevendo a superfície completando quadrado em x_{3},
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+(x_{3}-1)^{2}=1,
vê-se que é uma esfera centrada em (0,0,1) de raio 1. O vetor normal ao plano tangente numa esfera é a reta que liga o centro ao ponto a, que é \;a-(0,0,1)=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr), proporcional a (1,1,1); isso confirma a normal usada e leva à mesma equação x_{1}+x_{2}+x_{3}=1+\sqrt{3}.

Resposta

x_{1}+x_{2}+x_{3}=1+\sqrt{3}

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