Considere a superfcie
.
(1d) (1,0 ponto) Determine a equação do plano tangente
, para
.
(1d) (1,0 ponto) Determine a equação do plano tangente
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
e o ponto
O que se pede: determinar a equação do plano tangente
à superfície no ponto
.
Passo 2
Ideia principal (fórmula que vou usar): se uma superfície é dada implicitamente por
, então o gradiente
é um vetor normal ao plano tangente em
, e a equação do plano tangente é
Explicando devagar:
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Geometricamente, esse vetor aponta na direção perpendicular à superfície. A equação acima diz que o vetor que liga
a um ponto genérico
do plano tangente é ortogonal a esse normal.
Passo 3
Defino a função
correspondente à superfície:
Calculo as derivadas parciais (explicando cada termo):
Cada derivada parcial é a taxa de variação de
em relação àquela coordenada mantendo as outras fixas; por exemplo
vem de derivar
em relação a
.
Passo 4
Avalio o gradiente em
. Substituo
nas derivadas:
Portanto
Observação útil: o normal é proporcional a
.
Passo 5
Escrevo a equação do plano tangente usando
:
Desenvolvendo o produto escalar:
Passo 6
Fatoro
e simplifico:
Calculo a soma dos componentes de
:
Como
, posso dividir por esse fator e obter a forma simples do plano:
Passo 7
Comentário de verificação (modo alternativo, rápido): escrevendo a superfície completando quadrado em
,
vê-se que é uma esfera centrada em
de raio
. O vetor normal ao plano tangente numa esfera é a reta que liga o centro ao ponto
, que é
, proporcional a
; isso confirma a normal usada e leva à mesma equação
.