Considere o plano P: 3 x_{1}+2 x_{2}+1 x_{3}-6=0.
Determine dois vetores normais unitários ao plano P.

Passo 1

O enunciado dá o plano P:\;3x_{1}+2x_{2}+1x_{3}-6=0 e pede para determinar dois vetores normais unitários a P.
Informações relevantes:
  • A equação do plano é 3x_{1}+2x_{2}+1x_{3}-6=0.
  • O que se pede: dois vetores normais unitários (ou seja, vetores de norma 1 que sejam perpendiculares ao plano).

Passo 2

Por que os coeficientes da equação formam um vetor normal? Vou explicar de um jeito direto.
Sejam x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e x^{(0)}=(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)}) dois pontos quaisquer do plano P. Como ambos satisfazem a equação do plano, tem-se
3x_{1}+2x_{2}+1x_{3}-6=0
e
3x_{1}^{(0)}+2x_{2}^{(0)}+1x_{3}^{(0)}-6=0.
Subtraindo as duas equações obtemos
3(x_{1}-x_{1}^{(0)})+2(x_{2}-x_{2}^{(0)})+1(x_{3}-x_{3}^{(0)})=0.
Isto é o produto escalar
(3,2,1)\cdot\big(x-x^{(0)}\big)=0,
ou seja, o vetor (3,2,1) é ortogonal a qualquer vetor diretor x-x^{(0)} do plano; portanto (3,2,1) é um vetor normal ao plano P.

Passo 3

Identificamos um vetor normal (não necessariamente unitário) ao plano:
n=(3,2,1).

Passo 4

Agora calculamos a norma de n. A fórmula da norma (comprimento) de um vetor \,(a,b,c)\, é
\|(a,b,c)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Aplicando a n:
\|n\|=\sqrt{3^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.

Passo 5

Para obter um vetor normal unitário dividimos n por sua norma:
u=\frac{n}{\|n\|}=\left(\dfrac{3}{\sqrt{14}},\dfrac{2}{\sqrt{14}},\dfrac{1}{\sqrt{14}}\right).
Como a direção oposta também é normal, o outro vetor unitário é o simétrico negativo:
-u=\left(-\dfrac{3}{\sqrt{14}},-\dfrac{2}{\sqrt{14}},-\dfrac{1}{\sqrt{14}}\right).
Verificação rápida da unidade: o quadrado da norma de u é
\left(\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{\sqrt{14}}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{\sqrt{14}}\right)^{2}=\dfrac{9+4+1}{14}=\dfrac{14}{14}=1,
logo \|u\|=1.

Passo 6

Pronto! Esses são os dois vetores normais unitários. Dá um suspiro — já era trabalho mecânico: pegar os coeficientes, calcular a norma e dividir. Super tranquilo depois de ver o passo a passo.

Resposta

\left(\dfrac{3}{\sqrt{14}},\dfrac{2}{\sqrt{14}},\dfrac{1}{\sqrt{14}}\right)
\left(-\dfrac{3}{\sqrt{14}},-\dfrac{2}{\sqrt{14}},-\dfrac{1}{\sqrt{14}}\right)

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