Considere o plano P:
.
Determine dois vetores normais unitários ao plano P.
Determine dois vetores normais unitários ao plano P.
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede para determinar dois vetores normais unitários a
.
Informações relevantes:
- A equação do plano é
. - O que se pede: dois vetores normais unitários (ou seja, vetores de norma
que sejam perpendiculares ao plano).
Passo 2
Por que os coeficientes da equação formam um vetor normal? Vou explicar de um jeito direto.
Sejam
e
dois pontos quaisquer do plano
. Como ambos satisfazem a equação do plano, tem-se
e
Subtraindo as duas equações obtemos
Isto é o produto escalar
ou seja, o vetor
é ortogonal a qualquer vetor diretor
do plano; portanto
é um vetor normal ao plano
.
Passo 3
Identificamos um vetor normal (não necessariamente unitário) ao plano:
Passo 4
Agora calculamos a norma de
. A fórmula da norma (comprimento) de um vetor
é
Aplicando a
:
Passo 5
Para obter um vetor normal unitário dividimos
por sua norma:
Como a direção oposta também é normal, o outro vetor unitário é o simétrico negativo:
Verificação rápida da unidade: o quadrado da norma de
é
logo
.
Passo 6
Pronto! Esses são os dois vetores normais unitários. Dá um suspiro — já era trabalho mecânico: pegar os coeficientes, calcular a norma e dividir. Super tranquilo depois de ver o passo a passo.