1- determine o plano que seja paralelo ao plano \mathrm{z}=2 \mathrm{x} +3 y e tangente ao grafico de
f(x, y)=x^{2}+2 y

Passo 1

O enunciado dá:
  • A superfície (gráfico) definida por f(x,y)=x^{2}+2y. Isso significa que os pontos da superfície são (x,y,z) com z=f(x,y)=x^{2}+2y.
  • Um plano que queremos que seja paralelo: z=2x+3y.
O que pede o problema:
  • Determinar (se existir) um plano que seja paralelo ao plano z=2x+3y e ao mesmo tempo seja tangente ao gráfico de f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um plano paralelo a z=2x+3y deve ter as mesmas inclinações em x e y, ou seja, deve ter forma z=2x+3y+C para alguma constante C.
  • O plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x_{0},y_{0}) tem coeficientes dados pelas derivadas parciais de f avaliadas em (x_{0},y_{0}). Vamos usar isso para comparar os coeficientes.

Passo 2

Lembrete didático: como obter a equação do plano tangente a uma superfície dada por z=f(x,y).
  • As derivadas parciais representam as inclinações (pendentes) da superfície nas direções dos eixos:
    • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) é a inclinação da superfície quando se varia x mantendo y fixo.
    • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) é a inclinação quando se varia y mantendo x fixo.
  • A fórmula do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) com z_{0}=f(x_{0},y_{0}) é
z = f(x_{0},y_{0}) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Essa fórmula vem de aproximar f por sua aproximação linear (primeiro termo de Taylor) ao redor do ponto.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+2y.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2.
Explique: \dfrac{\partial f}{\partial x} depende de x (pois x^{2} varia com x), enquanto \dfrac{\partial f}{\partial y} é constante igual a 2 (pois a dependência em y é linear).

Passo 4

Caracterize os planos paralelos ao plano dado e compare com a forma do plano tangente.
  • Qualquer plano paralelo a z=2x+3y tem a forma
z = 2x + 3y + C,
onde C é uma constante.
  • Se esse plano for tangente à superfície em algum ponto (x_{0},y_{0}), então os coeficientes das variações em x e y do plano tangente devem coincidir com 2 e 3. Ou seja, precisamos ter
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) = 2 \qquad\text{e}\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) = 3.
Agora substitua as derivadas parciais calculadas:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})=2x_{0}. A condição \;2x_{0}=2\; \;x_{0}=1.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})=2. A condição \;2=3\; seria necessária para igualar ao coeficiente 3 do plano paralelo, mas isso é impossível: 2 nunca é igual a 3.

Passo 5

Interpretação e conclusão passo a passo (didática e encorajadora):
  • A inclinação da superfície na direção y é sempre 2 (porque f_{y}=2 para todos os pontos). Isso significa que qualquer plano tangente à superfície terá sempre coeficiente 2 multiplicando (y-y_{0}) (ou, em forma reduzida, terá termo 2y na parte linear).
  • O plano que queremos ser paralelo tem coeficiente 3 na direção y. Não há como ajustar uma constante vertical C para mudar esse coeficiente linear: a constante só desloca o plano para cima/baixo, não altera as inclinações.
  • Portanto não existe ponto (x_{0},y_{0}) tal que o plano tangente à superfície tenha coeficiente em y igual a 3. Logo, NÃO EXISTE plano paralelo a z=2x+3y que seja tangente ao gráfico de f(x,y)=x^{2}+2y.
Observação útil (exemplo complementar): se o plano paralelo tivesse sido z=2x+2y, aí sim seria possível: basta x_{0}=1 e qualquer y_{0}; então o plano tangente em (1,y_{0}) teria coeficientes 2 e 2 e seria paralelo a esse plano. Isso ajuda a entender por que o valor da derivada em y é crucial.

Resposta

Não existe plano paralelo ao plano z=2x+3y que seja tangente ao gráfico de f(x,y)=x^{2}+2y.

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