1- determine o plano que seja paralelo ao plano
+3 y e tangente ao grafico de
Passo 1
O enunciado dá:
- A superfície (gráfico) definida por
. Isso significa que os pontos da superfície são com . - Um plano que queremos que seja paralelo:
.
O que pede o problema:
- Determinar (se existir) um plano que seja paralelo ao plano
e ao mesmo tempo seja tangente ao gráfico de .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Um plano paralelo a
deve ter as mesmas inclinações em e , ou seja, deve ter forma para alguma constante . - O plano tangente à superfície
no ponto tem coeficientes dados pelas derivadas parciais de avaliadas em . Vamos usar isso para comparar os coeficientes.
Passo 2
Lembrete didático: como obter a equação do plano tangente a uma superfície dada por
.
-
As derivadas parciais representam as inclinações (pendentes) da superfície nas direções dos eixos:
-
é a inclinação da superfície quando se varia mantendo fixo. -
é a inclinação quando se varia mantendo fixo.
-
-
A fórmula do plano tangente em
com é
Essa fórmula vem de aproximar
por sua aproximação linear (primeiro termo de Taylor) ao redor do ponto.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
.
Explique:
depende de
(pois
varia com
), enquanto
é constante igual a
(pois a dependência em
é linear).
Passo 4
Caracterize os planos paralelos ao plano dado e compare com a forma do plano tangente.
- Qualquer plano paralelo a
tem a forma
onde
é uma constante.
- Se esse plano for tangente à superfície em algum ponto
, então os coeficientes das variações em e do plano tangente devem coincidir com e . Ou seja, precisamos ter
Agora substitua as derivadas parciais calculadas:
-
. A condição dá . -
. A condição seria necessária para igualar ao coeficiente do plano paralelo, mas isso é impossível: nunca é igual a .
Passo 5
Interpretação e conclusão passo a passo (didática e encorajadora):
- A inclinação da superfície na direção
é sempre (porque para todos os pontos). Isso significa que qualquer plano tangente à superfície terá sempre coeficiente multiplicando (ou, em forma reduzida, terá termo na parte linear). - O plano que queremos ser paralelo tem coeficiente
na direção . Não há como ajustar uma constante vertical para mudar esse coeficiente linear: a constante só desloca o plano para cima/baixo, não altera as inclinações. - Portanto não existe ponto
tal que o plano tangente à superfície tenha coeficiente em igual a . Logo, NÃO EXISTE plano paralelo a que seja tangente ao gráfico de .
Observação útil (exemplo complementar): se o plano paralelo tivesse sido
, aí sim seria possível: basta
e qualquer
; então o plano tangente em
teria coeficientes
e
e seria paralelo a esse plano. Isso ajuda a entender por que o valor da derivada em
é crucial.
Resposta
Não existe plano paralelo ao plano
que seja tangente ao gráfico de
.