Considere a superfície composta pelo campo escalar f(x, y)=-x^2+y^25 e limitada pelo plano z=-1. Podemos afirmar que:
A equação do plano tangente a superfície no ponto (3,-4,-5) é 3 x-4 y+5 z+125=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma superfície definida pela função e que está limitada pelo plano . O que precisamos fazer é verificar se a equação do plano tangente a essa superfície no ponto é realmente . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para encontrar o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = -2x5 em relação a fy = partial fpartial y = -2y5 e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície em cada direção.

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado fx(3, -4) = -2 cdot 35 = -65 :
fy(3, -4) = -2 cdot (-4)5 = 85

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a equação do plano tangente que é dada por:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z - (-5) = -65(x - 3) + 85(y + 4)
Simplificando:
z + 5 = -65x + 185 + 85y + 325
z + 5 = -65x + 85y + 505
z + 5 = -65x + 85y + 10
Multiplicando tudo por 5 para eliminar denominadores:
5z + 25 = -6x + 8y + 50
6x - 8y + 5z + 25 - 50 = 0
6x - 8y + 5z - 25 = 0

Resposta

A equação correta do plano tangente no ponto é , e não . Portanto, a afirmação é falsa.

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