Considere a superfície composta pelo campo escalar f(x, y)=-x^2+y^25 e limitada pelo plano z=-1. Podemos afirmar que:
A área da superfície é maior que 20 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma superfície definida pelo campo escalar e limitada pelo plano . Nosso objetivo é verificar se a área dessa superfície é maior que . Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo de áreas de superfícies em espaços tridimensionais, especialmente a fórmula da área de uma superfície parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a superfície f(x, y) = -1 Rightarrow -x^2 + y^25 = -1 Rightarrow x^2 + y^2 = 5 intersecta o plano . Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos mostra que a interseção ocorre em um círculo com raio .

Passo 3

Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula:
A = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Onde partial zpartial x = -2x5, partial zpartial y = -2y5 . Vamos calcular as derivadas parciais:
A = integral duplaD raiz1 + (-2x5)^2 + (-2y5)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^225 , dx , dy
Substituindo na fórmula da área:

Passo 4

É mais fácil resolver essa integral em coordenadas polares. Fazemos a substituição:
x = rcostheta, y = rsintheta, dx , dy = r , dr , dtheta
A área se torna:
A = integral0^2pi integral0^raiz5 raiz1 + 4r^225 cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna:
integral0^raiz5 r raiz1 + 4r^225 , dr
Fazendo a substituição 258 integral1^95 raizu , du = 258 cdot 23 ( u^3/2 ) g|1^95 = 2512 ( (95)^3/2 - 1 ) , temos (95)^3/2 = 27raiz55raiz5 = 275 ou 2512 ( 275 - 1 ) = 2512 cdot 225 = 55060 = 556 . A integral fica:
Calculando:
Portanto:

Passo 6

Agora, multiplicamos pela integral externa sobre A = 556 cdot 2pi = 1106pi = 553pi approx 18,33pi :

Resposta

A área da superfície é aproximadamente , que é menor que . Portanto, a afirmação de que a área da superfície é maior que é falsa.

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