Considere a superfície composta pelo campo escalar e limitada pelo plano . Podemos afirmar que:
A área da superfície é maior que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma superfície definida pelo campo escalar e limitada pelo plano . Nosso objetivo é verificar se a área dessa superfície é maior que . Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo de áreas de superfícies em espaços tridimensionais, especialmente a fórmula da área de uma superfície parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a superfície intersecta o plano . Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos mostra que a interseção ocorre em um círculo com raio .
Passo 3
Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula:
Onde . Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
É mais fácil resolver essa integral em coordenadas polares. Fazemos a substituição:
A área se torna:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna:
Fazendo a substituição , temos ou . A integral fica:
Calculando:
Portanto:
Passo 6
Agora, multiplicamos pela integral externa sobre A = 556 cdot 2pi = 1106pi = 553pi approx 18,33pi :
Resposta
A área da superfície é aproximadamente , que é menor que . Portanto, a afirmação de que a área da superfície é maior que é falsa.