Questão 01: Determine o raio de convergência e intervalo de convergência da série
Passo 1
Temos a série . Esse é um problema de séries de potências centrado em . O objetivo é achar o raio de convergência e depois verificar o que acontece nos extremos . Para isso, vamos usar o teste da razão e, depois, analisar os casos e .
Passo 2
Aplicando o teste da razão, definimos . Calculamos
Como o critério da razão diz que a série converge se L<1, concluímos que a região de convergência é
|x-4|<1,ou seja, um raio de convergência R=1 e, por enquanto, um intervalo aberto de convergência (3,5).
Passo 3
Para o extremo x=5, substituímos na série e temos
Como para sumk=1^inftykcdot1^kk^3+1=sumk=1^inftykk^3+1 grande k e kk^3+1sim1k^2 converge, usamos o critério da comparação limite: sum1/k^2logo limktoinftyk/(k^3+1)1/k^2=1, converge, e portanto a série converge em sum k/(k^3+1).
Passo 4
Para o extremo x=3, a série vira
sumk=1^inftyk(-1)^kk^3+1Mas seus termos em módulo são iguais aos do caso x=5, logo também convergem absolutamente por comparação com 1/k^2. Portanto, a série converge em x=3 também.
Resposta
Raio de convergência: R = 1; Intervalo de convergência: [3,,5].