Questão 01: Determine o raio de convergência e intervalo de convergência da série
sumk=1^infty k(x-4)^kk^3+1

Passo 1

Temos a série sumk=1^inftyk(x-4)^kk^3+1. Esse é um problema de séries de potências centrado em x=4. O objetivo é achar o raio de convergência e depois verificar o que acontece nos extremos x=4pm R. Para isso, vamos usar o teste da razão e, depois, analisar os casos x=3 e x=5.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, definimos ak=kk^3+1. Calculamos
L=limktoinfty|ak+1(x-4)^k+1ak(x-4)^k|=limktoinfty|k+1(k+1)^3+1cdotk^3+1kcdot(x-4)|=|x-4|cdotlimktoinfty(k+1)(k^3+1)kl((k+1)^3+1r)=|x-4|$
Como o critério da razão diz que a série converge se L<1, concluímos que a região de convergência é
|x-4|<1,ou seja, um raio de convergência R=1 e, por enquanto, um intervalo aberto de convergência (3,5).

Passo 3

Para o extremo x=5, substituímos na série e temos

Como para sumk=1^inftykcdot1^kk^3+1=sumk=1^inftykk^3+1 grande k e kk^3+1sim1k^2 converge, usamos o critério da comparação limite:
sum1/k^2logo limktoinftyk/(k^3+1)1/k^2=1, converge, e portanto a série converge em sum k/(k^3+1).

Passo 4

Para o extremo x=3, a série vira
sumk=1^inftyk(-1)^kk^3+1Mas seus termos em módulo são iguais aos do caso x=5, logo também convergem absolutamente por comparação com 1/k^2. Portanto, a série converge em x=3 também.

Resposta

Raio de convergência: R = 1; Intervalo de convergência: [3,,5].

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