Considere a superfície composta pelo campo escalar f(x, y)=2 raizx^2+y^2 e limitada pelos planos z=0 e z=4. A única afirmação verdadeira entre as seguintes é:
A área da superfície é maior que 30 unidades de área.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida pela função , limitada pelos planos e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de área de superfícies em cálculo multivariável. Para resolver esse problema, vamos precisar usar a fórmula da área da superfície para funções de duas variáveis.

Passo 2

A fórmula para calcular a área de uma superfície A = integral duplaD raiz1 + ( partial fpartial x )^2 + ( partial fpartial y )^2 , dx , dy é dada por:
Aqui, é a região no plano sobre a qual a superfície está definida. Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial fpartial x = 2xraizx^2 + y^2 em relação a partial fpartial y = 2yraizx^2 + y^2 :
Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz1 + ( 2xraizx^2 + y^2 )^2 + ( 2yraizx^2 + y^2 )^2 , dx , dy
Simplificando dentro da raiz:
1 + 4x^2x^2 + y^2 + 4y^2x^2 + y^2 = 1 + 4(x^2 + y^2)x^2 + y^2 = 1 + 4 = 5
Então, a expressão para a área fica:
A = integral duplaD raiz5 , dx , dy = raiz5 integral duplaD dx , dy = raiz5 cdot Área de D Á

Passo 5

A região 2 raizx^2 + y^2 = 4 implies raizx^2 + y^2 = 2 implies r = 2 é a projeção da superfície sobre o plano . Como está limitada por e , podemos encontrar o raio da região circular:
Portanto, é um círculo de raio 2.

Passo 6

A área de um círculo é dada por Área de D = pi (2)^2 = 4pi . Então, a área de é:
Á

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da área da superfície:
A = raiz5 cdot 4pi = 4raiz5pi
Calculando numericamente:
4raiz5pi approx 4 times 2,236 times 3,1416 approx 28,12

Resposta

A área da superfície é aproximadamente 28,12 unidades de área, o que é menor que 30. Portanto, a afirmação de que a área da superfície é maior que 30 unidades de área é falsa.

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