Considere a superfície composta pelo campo escalar e limitada pelos planos e . A única afirmação verdadeira entre as seguintes é:
A área da superfície é maior que 30 unidades de área.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida pela função , limitada pelos planos e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de área de superfícies em cálculo multivariável. Para resolver esse problema, vamos precisar usar a fórmula da área da superfície para funções de duas variáveis.
Passo 2
A fórmula para calcular a área de uma superfície é dada por:
Aqui, é a região no plano sobre a qual a superfície está definida. Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz5 , dx , dy = raiz5 integral duplaD dx , dy = raiz5 cdot Área de D Á
Passo 5
A região 2 raizx^2 + y^2 = 4 implies raizx^2 + y^2 = 2 implies r = 2 é a projeção da superfície sobre o plano . Como está limitada por e , podemos encontrar o raio da região circular:
Portanto, é um círculo de raio 2.
Passo 6
A área de um círculo é dada por Área de D = pi (2)^2 = 4pi . Então, a área de é:
Á
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da área da superfície:
A = raiz5 cdot 4pi = 4raiz5pi
Calculando numericamente:
4raiz5pi approx 4 times 2,236 times 3,1416 approx 28,12
Resposta
A área da superfície é aproximadamente 28,12 unidades de área, o que é menor que 30. Portanto, a afirmação de que a área da superfície é maior que 30 unidades de área é falsa.