Considere a superfície S que consiste da parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está entre os planos z=0 e z=raiz3 e que satisfaz y >= 0.
Calcule a integral de superfície integral duplaS x^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de superfície da função sobre uma parte específica da esfera . Essa parte está entre os planos e e também satisfaz .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície e coordenadas esféricas, que facilitam o cálculo em superfícies esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação representa uma esfera com raio 2 centrada na origem. Como estamos interessados na parte da esfera onde está entre 0 e e , estamos olhando para uma “fatia” específica dessa esfera.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
Aqui, é o raio (que será 2, já que a esfera tem raio 2), é o ângulo polar (angulação a partir do eixo z) e é o ângulo azimutal (angulação no plano xy).

Passo 4

Na nossa superfície, x = 2 sin phi cos theta y = 2 sin phi sin theta z = 2 cos phi . Então, podemos simplificar para:
x^2 + y^2 + z^2 = (2 sin phi cos theta)^2 + (2 sin phi sin theta)^2 + (2 cos phi)^2 = 4
A função que vamos integrar, , simplifica para:
Então, na verdade, a função que estamos integrando é constante e igual a 4 na superfície.

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para 0 <= z = 2 cos phi <= raiz3 Rightarrow cos phi >= 0 e cos phi <= raiz32 Rightarrow 0 <= phi <= pi6 e :
  • Como está entre 0 e , temos:
  • E como , o ângulo varia de 0 a (meio círculo no plano xy).

Passo 6

A integral de superfície em coordenadas esféricas é dada por:
integral duplaS f(x,y,z) , dS = integraltheta1^theta2 integralphi1^phi2 f(rho,phi,theta) cdot rho^2 sin phi , dphi , dtheta
No nosso caso, , , vai de 0 a e vai de 0 a .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
integral duplaS 4 , dS = integral0^pi integral0^pi6 4 cdot 2^2 sin phi , dphi , dtheta = 16 integral0^pi integral0^pi6 sin phi , dphi , dtheta

Passo 8

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integral0^pi6 sin phi , dphi = -cos phi |0^pi6 = -cos pi6 + cos 0 = -(raiz32) + 1 = 1 - raiz32

Passo 9

Agora, integramos em relação a 16 cdot (1 - raiz32) integral0^pi dtheta = 16 cdot (1 - raiz32) cdot pi = 16pi (1 - raiz32) :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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