Considere a superfície que consiste da parte da esfera que está entre os planos e e que satisfaz .
Calcule a integral de superfície .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de superfície da função sobre uma parte específica da esfera . Essa parte está entre os planos e e também satisfaz .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície e coordenadas esféricas, que facilitam o cálculo em superfícies esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação representa uma esfera com raio 2 centrada na origem. Como estamos interessados na parte da esfera onde está entre 0 e e , estamos olhando para uma “fatia” específica dessa esfera.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Aqui, é o raio (que será 2, já que a esfera tem raio 2), é o ângulo polar (angulação a partir do eixo z) e é o ângulo azimutal (angulação no plano xy).
Passo 4
Na nossa superfície, x = 2 sin phi cos theta y = 2 sin phi sin theta z = 2 cos phi . Então, podemos simplificar para:
x^2 + y^2 + z^2 = (2 sin phi cos theta)^2 + (2 sin phi sin theta)^2 + (2 cos phi)^2 = 4
A função que vamos integrar, , simplifica para:
Então, na verdade, a função que estamos integrando é constante e igual a 4 na superfície.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para 0 <= z = 2 cos phi <= raiz3 Rightarrow cos phi >= 0 e cos phi <= raiz32 Rightarrow 0 <= phi <= pi6 e :
Como está entre 0 e , temos:
E como , o ângulo varia de 0 a (meio círculo no plano xy).
Passo 6
A integral de superfície em coordenadas esféricas é dada por:
integral duplaS f(x,y,z) , dS = integraltheta1^theta2 integralphi1^phi2 f(rho,phi,theta) cdot rho^2 sin phi , dphi , dtheta
No nosso caso, , , vai de 0 a e vai de 0 a .
Passo 7
Substituindo na fórmula:
integral duplaS 4 , dS = integral0^pi integral0^pi6 4 cdot 2^2 sin phi , dphi , dtheta = 16 integral0^pi integral0^pi6 sin phi , dphi , dtheta