Considere a superfície S que consiste da parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está entre os planos z=0 e z=raiz3 e que satisfaz y >= 0.
Parametrize a superfície S.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma superfície que é parte da esfera . Essa parte está entre os planos e e além disso, só considera os pontos onde . Nosso objetivo aqui é parametrizar essa superfície, ou seja, expressar , e em termos de dois parâmetros. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para trabalhar com esferas!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço pode ser descrito por dois ângulos e uma distância do centro. Para uma esfera de raio x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi , temos:
Aqui, é o ângulo polar (medido a partir do eixo ) e é o ângulo azimutal (no plano ).

Passo 3

No nosso caso, a esfera tem equação x = 2 sin phi cos theta y = 2 sin phi sin theta z = 2 cos phi , o que significa que o raio . Assim, as parametrizações ficam:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites dos ângulos 0 <= z <= raiz3 Rightarrow 0 <= 2 cos phi <= raiz3 Rightarrow 0 <= cos phi <= raiz32 e para que a superfície fique entre os planos e , e também para que .
Para , temos:
Isso implica que varia de a , já que .
Para , o ângulo deve variar de a , garantindo que o seno de seja não negativo.

Passo 5

Com tudo isso, nossa parametrização final fica:
x = 2 sin phi cos theta y = 2 sin phi sin theta z = 2 cos phi
onde e .

Resposta

A parametrização da superfície x = 2 sin phi cos theta y = 2 sin phi sin theta z = 2 cos phi é:
com e .

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