Seja g: R R uma função de classe C^1 em R e considere F: R^2 R^2 dado por
F(x, y)=(y g^prime(x), g(x))
Decida se F é conservativo e justifique sua resposta. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para F.

Passo 1

O enunciado dá uma função de classe C^1 em R, chamada g, e define um campo vetorial vec F:R^2toR^2 por vec F(x,y)=(y,g'(x),,g(x)). A tarefa é decidir se vec F é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Para verificar se vec F é conservativo em R^2, usamos a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas (curl zero) num domínio simplesmente conectado. Calculamos
partialpartial yl(y,g'(x)r)=g'(x),
partialpartial xl(g(x)r)=g'(x)

Passo 3

Como ambas derivadas coincidem, o rotacional de vec F é nulo e, sendo R^2 simplesmente conectado, vec F é de fato um campo conservativo.

Passo 4

Para achar a potencial phi(x,y), integramos F1=y,g'(x) em relação a x:
phi(x,y)=integral y,g'(x),dx=y,g(x)+h(y),

Passo 5

onde h(y) é uma função só de y. Em seguida, impomos que partialphi/partial y=F2=g(x):
partialphipartial y=g(x)+h'(y)=g(x)implies h'(y)=0

Passo 6

Logo, h(y) é constante e podemos escolher a potencial como phi(x,y)=y,g(x), a menos de uma constante arbitrária.

Resposta

Uma função potencial é phi(x,y)=y,g(x).

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