Seja
uma função de classe
em
e considere
dado por
Decida se
é conservativo e justifique sua resposta. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para
.
Passo 1
O enunciado dá uma função de classe
em
, chamada
, e define um campo vetorial
por
. A tarefa é decidir se
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
Passo 2
Para verificar se
é conservativo em
, usamos a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas (curl zero) num domínio simplesmente conectado. Calculamos
Passo 3
Como ambas derivadas coincidem, o rotacional de
é nulo e, sendo
simplesmente conectado,
é de fato um campo conservativo.
Passo 4
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
Passo 5
onde
é uma função só de
. Em seguida, impomos que
:
Passo 6
Logo,
é constante e podemos escolher a potencial como
, a menos de uma constante arbitrária.
Resposta
Uma função potencial é
.