5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
f(x, y)= x^2 y^32 x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 1 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O problema dá a função de duas variáveis f(x,y) definida por partes e pede o limite em (0,0). Estamos estudando limites de funções de duas variáveis e vamos precisar tanto testar caminhos específicos quanto usar uma estimativa geral (em coordenadas polares ou por desigualdades) para mostrar que o valor se aproxima de um único número.

Passo 2

Vamos testar caminhos lineares para ver se o limite depende da direção. Na reta y=mx, para xto0 temos:
f(x,mx)=x^2,(mx)^32x^2+(mx)^2=m^3x^5x^2(2+m^2)=m^32+m^2,x^3to0
Ou seja, ao longo de qualquer reta passando pela origem, f(x,y)to0.

Passo 3

Para ter certeza de que todos os caminhos levam ao mesmo valor, fazemos uma estimativa geral. Note que, para (x,y)neq(0,0):
|f(x,y)|=|x^2y^32x^2+y^2|=|y|cdotx^2y^22x^2+y^2<=|y|cdot x^2<= x^2,|y|
Como x^2<= x^2+y^2 e |y|<=raizx^2+y^2, temos
|f(x,y)|<=(x^2+y^2)cdotraizx^2+y^2=(x^2+y^2)^3/2
Em coordenadas polares, r=raizx^2+y^2, isso vira |f(x,y)|<= r^3, que vai a zero quando rto0.

Passo 4

Como todas as direções levam ao mesmo valor e a estimativa geral mostra que f(x,y)to0 conforme (x,y)to(0,0), concluímos que o limite existe e é zero. Note que f(0,0)=1, então a função é descontínua na origem.

Resposta

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