5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O problema dá a função de duas variáveis definida por partes e pede o limite em . Estamos estudando limites de funções de duas variáveis e vamos precisar tanto testar caminhos específicos quanto usar uma estimativa geral (em coordenadas polares ou por desigualdades) para mostrar que o valor se aproxima de um único número.
Passo 2
Vamos testar caminhos lineares para ver se o limite depende da direção. Na reta , para temos:
Ou seja, ao longo de qualquer reta passando pela origem, .
Passo 3
Para ter certeza de que todos os caminhos levam ao mesmo valor, fazemos uma estimativa geral. Note que, para :
Como x^2<= x^2+y^2 e |y|<=raizx^2+y^2, temos
|f(x,y)|<=(x^2+y^2)cdotraizx^2+y^2=(x^2+y^2)^3/2
Em coordenadas polares, r=raizx^2+y^2, isso vira |f(x,y)|<= r^3, que vai a zero quando rto0.
Passo 4
Como todas as direções levam ao mesmo valor e a estimativa geral mostra que f(x,y)to0 conforme (x,y)to(0,0), concluímos que o limite existe e é zero. Note que f(0,0)=1, então a função é descontínua na origem.