Considere a superfície dada pelo gráfico da função .
(b) Mostre que, para todo ponto , o plano tangente ao gráfico de que passa em contém a origem e que o ângulo entre este plano tangente e o plano näo depende do ponto .
Passo 1
No enunciado temos a superfície dada pelo gráfico de . A parte (b) pede para mostrar que, para todo , o plano tangente em contém a origem e que o ângulo entre esse plano tangente e o plano é independente de . Vamos precisar de derivadas parciais, gradiente e geometria de planos tangentes.
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais de . Seja . Então
O plano tangente ao gráfico de f em (x0,y0,z0) tem equação
[z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).
Substituindo as derivadas:
[z-z_0=\frac{x_0}{z_0}(x-x_0)+\frac{y_0}{z_0}(y-y_0).
Expandindo e usando x0^2+y0^2=z0^2 obtemos
[z=\frac{x_0}{z_0}x+\frac{y_0}{z_0}y.
Isso mostra que, ao substituir (x,y,z)=(0,0,0), a equação fica 0=0, ou seja, o plano passa pela origem.
Passo 4
Para achar o ângulo entre esse plano e o plano xy, pegamos seus vetores normais. O normal ao plano tangente é
[N=(-f_x,-f_y,1)=\Bigl(-\frac{x_0}{z_0},-\frac{y_0}{z_0},1\Bigr),
e o normal ao plano xy é k=(0,0,1). O cosseno do ângulo phi entre os planos é o cosseno do ângulo entre N e k:
[\cos\phi=\frac{|N\cdot\mathbf k|}{|N|,|\mathbf k|} = \frac{1}{\sqrt{\bigl(\tfrac{x_0}{z_0}\bigr)2+\bigl(\tfrac{y_0}{z_0}\bigr)2+1}}.
Como x0^2+y0^2=z0^2, dentro da raiz fica 1+1=2, logo cosphi=1/raiz2, ou seja, phi=45^circ, independente de (x0,y0).
Resposta
O plano tangente contém a origem e faz ângulo de 45° com o plano xy, constante para todo (x,y)neq(0,0).