Encontre as soluções gerais, assumindo
e
constantes.
Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis do tipo equação de Euler: \ x^{2}y’’ + 2x y’ - 6y = 0. Para resolvê-la, vamos usar a técnica de assumir uma solução-piloto da forma \ y = x^{r}.
Passo 2
Supondo \ y = x^{r}, calculemos as derivadas: \ y’ = r x^{r-1}, \ y’’ = r(r-1)x^{r-2}. Substituindo na equação principal, obtemos:
\ x{2}\bigl[r(r-1)x{r-2}\bigr] + 2x\bigl[r x^{r-1}\bigr] - 6 x^{r} = 0. Fatorando , isso vira:
\ x^{r}\bigl[r(r-1) + 2r - 6\bigr] = 0. Como para
, a parte entre colchetes deve ser zero, gerando a equação característica:
\ r(r-1) + 2r - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} + r - 6 = 0. Resolva essa equação quadrática para achar .
\ x{2}\bigl[r(r-1)x{r-2}\bigr] + 2x\bigl[r x^{r-1}\bigr] - 6 x^{r} = 0. Fatorando
\ x^{r}\bigl[r(r-1) + 2r - 6\bigr] = 0. Como
\ r(r-1) + 2r - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} + r - 6 = 0. Resolva essa equação quadrática para achar
Passo 3
A equação
fatoriza em
. Assim, as raízes são
e
.
Passo 4
Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da equação de Euler é dada por: \ y(x) = c_{1}x^{r_{1}} + c_{2}x^{r_{2}} = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{-3}.
Resposta
y(x) = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{-3}