Encontre as soluções gerais, assumindo x>0 e c1, c2 constantes.
x^2 y^prime prime+2 x y^prime-6 y=0

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis do tipo equação de Euler: \ x^{2}y’’ + 2x y’ - 6y = 0. Para resolvê-la, vamos usar a técnica de assumir uma solução-piloto da forma \ y = x^{r}.

Passo 2

Supondo \ y = x^{r}, calculemos as derivadas: \ y’ = r x^{r-1}, \ y’’ = r(r-1)x^{r-2}. Substituindo na equação principal, obtemos:
\ x{2}\bigl[r(r-1)x{r-2}\bigr] + 2x\bigl[r x^{r-1}\bigr] - 6 x^{r} = 0. Fatorando x^r, isso vira:
\ x^{r}\bigl[r(r-1) + 2r - 6\bigr] = 0. Como x^rneq0 para x>0, a parte entre colchetes deve ser zero, gerando a equação característica:
\ r(r-1) + 2r - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} + r - 6 = 0. Resolva essa equação quadrática para achar r.

Passo 3

A equação r^2 + r - 6 = 0 fatoriza em (r+3)(r-2) = 0. Assim, as raízes são r1 = 2 e r2 = -3.

Passo 4

Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da equação de Euler é dada por: \ y(x) = c_{1}x^{r_{1}} + c_{2}x^{r_{2}} = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{-3}.

Resposta

y(x) = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{-3}

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