Considere a superficie z=f(x, y) dada implicitamente por ( 1,5 ponto)
x^2+2 y^2+2 z^2=-4 x y z
(a) Calcule partial zpartial x e partial zpartial y.
(b) Quais os pontos que as derivadas parciais calculadas no item anterior não estão definidas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que define uma superfície tridimensional: $ x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} = -4xyz $. Precisamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que é quando a função $ z $ está definida de forma indireta pela equação dada. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação:
x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz = 0
Agora, queremos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, vamos derivar toda a equação em relação a $ x $, tratando $ y $ como constante e $ z $ como função de $ x $.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $:
  1. Derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
  2. Derivada de $ 2y^{2} $ em relação a $ x $ é 0, porque $ y $ é constante.
  3. Derivada de $ 2z^{2} $ em relação a $ x $ é $ 4z \frac{\partial z}{\partial x} $ (usando a regra da cadeia).
  4. Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ x $ é $ 4yz + 4xz \frac{\partial z}{\partial x} $ (produto de funções: derivada de $ x $ é 1 e derivada de $ z $ é $ \frac{\partial z}{\partial x} $).
Então, temos:
x

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos que contêm $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
(4z + 4xz) partial zpartial x + 2x + 4yz = 0
Agora, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x
Simplificando mais:
4z(1 + x) partial zpartial x = -2x - 4yz

Passo 5

De forma similar, vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $ derivando toda a equação original em relação a $ y $:
partial zpartial y
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de $ x^{2} $ em relação a $ y $ é 0.
  2. Derivada de $ 2y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 4y $.
  3. Derivada de $ 2z^{2} $ em relação a $ y $ é $ 4z \frac{\partial z}{\partial y} $.
  4. Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ y $ é $ 4xz + 4xy \frac{\partial z}{\partial y} $.
Então:
y

Passo 6

Agrupando os termos com $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
(4z + 4xy) partial zpartial y + 4y + 4xz = 0
Isolando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y

Passo 7

Então, temos as derivadas parciais:
partial zpartial x = -(x + 2yz)2z(1 + x)
partial zpartial y = -(y + xz)z + xy

Resposta

(a) As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -(x + 2yz)2z(1 + x)
partial zpartial y = -(y + xz)z + xy

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