Considere a superficie
dada implicitamente por ( 1,5 ponto)
(a) Calcule
e
.
(b) Quais os pontos que as derivadas parciais calculadas no item anterior não estão definidas?
(b) Quais os pontos que as derivadas parciais calculadas no item anterior não estão definidas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que define uma superfície tridimensional: $ x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} = -4xyz $. Precisamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que é quando a função $ z $ está definida de forma indireta pela equação dada. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação:
Agora, queremos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, vamos derivar toda a equação em relação a $ x $, tratando $ y $ como constante e $ z $ como função de $ x $.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $:
- Derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
- Derivada de $ 2y^{2} $ em relação a $ x $ é 0, porque $ y $ é constante.
- Derivada de $ 2z^{2} $ em relação a $ x $ é $ 4z \frac{\partial z}{\partial x} $ (usando a regra da cadeia).
- Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ x $ é $ 4yz + 4xz \frac{\partial z}{\partial x} $ (produto de funções: derivada de $ x $ é 1 e derivada de $ z $ é $ \frac{\partial z}{\partial x} $).
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos que contêm $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Agora, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Simplificando mais:
Passo 5
De forma similar, vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $ derivando toda a equação original em relação a $ y $:
Derivando termo a termo:
- Derivada de $ x^{2} $ em relação a $ y $ é 0.
- Derivada de $ 2y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 4y $.
- Derivada de $ 2z^{2} $ em relação a $ y $ é $ 4z \frac{\partial z}{\partial y} $.
- Derivada de $ 4xyz $ em relação a $ y $ é $ 4xz + 4xy \frac{\partial z}{\partial y} $.
Então:
Passo 6
Agrupando os termos com $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Fatorando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Isolando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 7
Então, temos as derivadas parciais:
Resposta
(a) As derivadas parciais são: