Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral raiz91-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raiz91 - x^2,dx e depois derivar o resultado para conferir que volta ao integrando. Vamos usar métodos de integração de funções envolvendo raízes e a derivada de arcsin(x).

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando:
raiz91 - x^2 = raiz9raiz1 - x^2 = 3raiz1 - x^2
Agora reconhecemos que a primitiva de 1/raiz1 - x^2 é arcsin(x). Logo,
integral 3raiz1 - x^2,dx = 3 integral 1raiz1 - x^2,dx = 3arcsin(x) + C
Para conferir, derivamos 3arcsin(x) + C:
ddxl(3arcsin(x) + Cr) = 3 cdot 1raiz1 - x^2 + 0 = 3raiz1 - x^2,
que coincide com o integrando simplificado. Portanto, a verificação está completa.

Resposta

3arcsin(x) + C

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