Considere a superfície S definida pela equação
tan (z)=x-2 y
em que a variável z é dada implicitamente em função de x e de y.
Calcule partial zpartial x(2, 12, pi4) e partial zpartial y(2, 12, pi4)

Passo 1

O enunciado define a superfície S por tan(z)=x-2y, onde z=z(x,y) está implícita em função de x e y. Precisamos calcular as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y no ponto (2,tfrac12,tfracpi4). Vamos usar derivação implícita e a regra da cadeia, assim como a derivada de tan(z).

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x aplicamos a regra da cadeia:
partialpartial x[tan(z(x,y))] = sec^2(z),partial zpartial x
partialpartial x[x - 2y] = 1
Portanto temos
sec^2(z),partial zpartial x = 1
e daí
partial zpartial x = 1sec^2(z) = cos^2(z)
Avaliando em (2,tfrac12,tfracpi4), em que z=tfracpi4 e cos(tfracpi4)=tfracraiz22, obtemos
partial zpartial x(2,tfrac12,tfracpi4) = cos^2l(tfracpi4r) = tfrac12

Passo 3

Agora derivamos em relação a y. Aplicando a regra da cadeia:
partialpartial y[tan(z(x,y))] = sec^2(z),partial zpartial y
partialpartial y[x - 2y] = -2
Logo
sec^2(z),partial zpartial y = -2
e
partial zpartial y = -2,1sec^2(z) = -2cos^2(z)
Avaliando em (2,tfrac12,tfracpi4) ficamos com
partial zpartial y(2,tfrac12,tfracpi4) = -2cos^2l(tfracpi4r) = -2cdottfrac12 = -1

Resposta

partial zpartial x(2,tfrac12,tfracpi4)=tfrac12, partial zpartial y(2,tfrac12,tfracpi4)=-1.

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