Determine, se existir, o limite lim (x, y) (0,0) x y^2x^2-y^2. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o limite da função x y^2x^2-y^2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (0,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de limites em funções de duas variáveis, verificando se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo x = 0 e y = 0 na função:
0 cdot 0^20^2 - 0^2 = 00
Isso resulta em uma forma indeterminada, então não podemos concluir o valor do limite dessa forma. Precisamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de (0,0) e ver se obtemos o mesmo resultado.
Caminho 1: Vamos aproximar ao longo do eixo x, ou seja, com y = 0.
Substituindo y = 0 na função:
x cdot 0^2x^2 - 0^2 = 0x^2 = 0
Então, ao se aproximar de (0,0) pelo eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Caminho 2: Agora, vamos aproximar ao longo da reta y = x.
Substituindo y = x na função:
x cdot x^2x^2 - x^2 = x^30
Aqui, a expressão fica x^30, que não está definida, indicando que o limite tende ao infinito ou não existe nesse caminho.

Passo 5

Como obtivemos resultados diferentes ao se aproximar de (0,0) por caminhos diferentes (no Caminho 1 o limite é 0 e no Caminho 2 o limite não existe), isso mostra que o limite geral da função não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x y^2x^2-y^2 não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em valores diferentes ou indefinidos.

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