Determine, se existir, o limite
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de limites em funções de duas variáveis, verificando se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo
e
na função:
Isso resulta em uma forma indeterminada, então não podemos concluir o valor do limite dessa forma. Precisamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de
e ver se obtemos o mesmo resultado.
Caminho 1: Vamos aproximar ao longo do eixo
, ou seja, com
.
Substituindo
na função:
Então, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é
.
Passo 4
Caminho 2: Agora, vamos aproximar ao longo da reta
.
Substituindo
na função:
Aqui, a expressão fica
, que não está definida, indicando que o limite tende ao infinito ou não existe nesse caminho.
Passo 5
Como obtivemos resultados diferentes ao se aproximar de
por caminhos diferentes (no Caminho 1 o limite é
e no Caminho 2 o limite não existe), isso mostra que o limite geral da função não existe.
Resposta
O limite
não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em valores diferentes ou indefinidos.