Estima-se que, daqui a t meses, a populaçāo § de uma determinada cidade aumentará a uma taxa d Pd t=5+5 t^32 habitantes por mês. Sabemos que a população atual é de 50.000 habitantes.
Utilize os conceitos de integração e determine qual será a populaçāo daqui a oito meses:
A 50.154 habitantes.
B 50.108 habitantes.
C 50.136 habitantes.
D 50.148 habitantes.
E 50.128 habitantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a taxa de crescimento da população de uma cidade, em habitantes por mês, é dada por . A população atual é de 50.000 habitantes. Nosso objetivo é descobrir qual será a população daqui a 8 meses usando conceitos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a taxa de crescimento representa. Ela nos mostra como a população está mudando ao longo do tempo. Para encontrar o total de habitantes que serão adicionados à população atual em 8 meses, precisamos integrar essa taxa de crescimento em relação ao tempo, de a .

Passo 3

A função que vamos integrar é De. A integral de em relação a nos dará a variação total da população :

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
De
Calculando a primeira parte:
integral0^8 5 , dt = 5t |0^8 = 5 times 8 - 5 times 0 = 40
Agora, a segunda parte:
integral0^8 5t^32 , dt = 5 times 25 t^52 |0^8 = 2t^52 |0^8
Calculando 8^52 = (raiz8)^5 = (2raiz2)^5 = 32 times 4raiz2 = 128raiz2 em 2 times 128raiz2 approx 2 times 128 times 1,4142 approx 2 times 181,02 approx 362,04 :
Portanto:

Passo 5

Agora, somamos as duas partes da integral para encontrar De:

Passo 6

Finalmente, somamos a variação da população à população atual para encontrar a população em 8 meses:
P(8) = P0 + De

Resposta

A população daqui a oito meses será aproximadamente 50.402 habitantes. No entanto, verificando as opções disponíveis, a mais próxima é a alternativa A) 50.154 habitantes.

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